Question

矩形紙片ABCD中，AB=5，AD=4．

（1）如圖1，四邊形MNEF是在矩形紙片ABCD中裁剪出一個正方形．你能否在該矩形中裁剪出一個面積最大的正方形，最大面積是多少？說明理由；

（2）請用矩形紙片ABCD剪拼成一個面積最大的正方形．要求：在圖2的矩形ABCD中畫出裁剪線，并在網(wǎng)格中畫出用裁剪出的紙片拼成的正方形示意圖（使正方形的頂點(diǎn)都在網(wǎng)格的格點(diǎn)上）．

 

 

Answer 1

（1）可以在該矩形中裁剪出一個面積最大的正方形，最大面積是16；

（2）圖形見解析．

【解析】

試題分析：（1）設(shè)AM=x（0≤x≤4）則MD=4﹣x，根據(jù)正方形的性質(zhì)就可以得出Rt△ANM≌Rt△DMF．根據(jù)正方形的面積就可以表示出解析式，由二次函數(shù)的性質(zhì)就可以求出其最值；

（2）先將矩形紙片分割成4個全等的直角三角形和兩個矩形如圖，根據(jù)趙爽弦圖的構(gòu)圖方法就可以拼成正方形．

試題解析：（1）正方形的最大面積是16．設(shè)AM=x（0≤x≤4），則MD=4﹣x．

∵四邊形MNEF是正方形，

∴MN=MF，∠AMN+∠FMD=90°．

∵∠AMN+∠ANM=90°，

∴∠ANM=∠FMD．

∵在△ANM和△DMF中

，

∴△ANM≌△DMF（AAS）．

∴DM=AN．

∴S正方形MNEF=MN2=AM2+AN2，

=x2+（4﹣x）2，

=2（x﹣2）2+8

∵函數(shù) S正方形MNEF=2（x﹣2）2+8的開口向上，

對稱軸是x=2，

在對稱軸的左側(cè)S隨x的增大而減小，在對稱軸的右側(cè)S隨x的增大而增大，

∵0≤x≤4，

∴當(dāng)x=0或x=4時，正方形MNEF的面積最大，最大值是16．

（2）先將矩形紙片ABCD分割成4個全等的直角三角形和兩個矩形如圖1，然后拼成如圖2的正方形．

．

考點(diǎn)：四邊形綜合題．