Question

20．如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，⊙C的圓心坐標為（-2，-2），半徑為$\sqrt{2}$．函數(shù)y=-x+2的圖象與x軸交于點A，與y軸交于點B，
（1）圖1中，連接CO并延長和AB交于點G，求證：CG⊥AB；
（2）圖2中，當點P從B出發(fā)，以1個單位/秒的速度在線段AB上運動，連接 PO，當直線PO與⊙C相切時，求點P運行的時間t是多少？
（3）圖3中，當直線PO與⊙C相交時，設交點為E、F，如果CM⊥EF于點M，令PO=x，MO=y，求y與x之間的函數(shù)關系式，寫出x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先求得直線OC的解析式，依據(jù)一次項系數(shù)乘積為-1的兩條直線相互垂直，可證明CG⊥AB；
（2）由y=x與y=-x+2可求得點G的坐標，然后再求得點B的坐標為，接下來依據(jù)兩點間的距離公式求得OC=2$\sqrt{2}$，OG=$\sqrt{2}$．BG=$\sqrt{2}$．接下來證明△OCE∽△OPG，由相似三角形的性質(zhì)可求得PG=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，從而可求得BP的長，故此可求得t的值
（3）如圖所示：先證明△MOC∽△GOP，由相似三角形的性質(zhì)可得到y(tǒng)與x的函數(shù)關系式，當點P與點G重合時，OP有最小值，當OP與圓C相切時OP有最大值，從而可確定出自變量x的取值范圍．

解答 解：（1）∵設直線OC的解析式為y=kx，將點C的坐標代入得：-2k=-2，解得；k=1，
∴直線OC的解析式為y=x．
∵函數(shù)y=-x+2的一次項系數(shù)與函數(shù)y=x的一次項系數(shù)的乘積為-1×1=-1，
∴直線y=x與直線y=-x+2相互垂直．
∴CG⊥AB．
（2）∵將y=x與y=-x+2聯(lián)立解得：x=1，y=1，
∴點G坐標為（1，1）．
∵將x=0代入y=-x+2得y=2，
∴點B的坐標為（0，2）．
由兩點間的距離公式可知OC=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，OG=$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{2}$．BG=$\sqrt{{（1-0）}^{2}+（2-1）^{2}}$=$\sqrt{2}$．
①如圖1所示：

∵直線PO與⊙C相切，
∴CE⊥OE．
在Rt△OCE中，由勾股定理可知：OE=$\sqrt{O{C}^{2}-E{C}^{2}}$=$\sqrt{6}$
∵在△OCE和△OGP中，∠CEO=∠PGO=90°，∠COE=∠POG，
∴△OCE∽△OPG．
∴$\frac{CE}{PG}=\frac{OE}{OG}$，即$\frac{\sqrt{2}}{PG}=\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}}$，解得：PG=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
∴PB=BG-PG=$\sqrt{2}$-$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
∴t=$\sqrt{2}$-$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
②如圖2所示：

∵直線PO與⊙C相切，
∴CE⊥OE．
在Rt△OCE中，由勾股定理可知：OE=$\sqrt{O{C}^{2}-E{C}^{2}}$=$\sqrt{6}$
∵在△OCE和△OGP中，∠CEO=∠PGO=90°，∠COE=∠POG，
∴△OCE∽△OPG．
∴$\frac{CE}{PG}=\frac{OE}{OG}$，即$\frac{\sqrt{2}}{PG}=\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}}$，解得：PG=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
∴PB=BG+PG=$\sqrt{2}$+$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
∴t=$\sqrt{2}$+$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
綜上所述，當t=$\sqrt{2}$+$\frac{\sqrt{6}}{3}$或t=$\sqrt{2}$-$\frac{\sqrt{6}}{3}$時，直線PO與⊙C相切．
（3）如圖所示：

∵CM⊥EF，
∴∠CMO=90°．
∴∠CMO=∠OGP．
又∵∠MOC=∠GOP，
∴△MOC∽△GOP．
∴$\frac{OC}{OP}=\frac{OM}{OG}$，即$\frac{2\sqrt{2}}{x}=\frac{y}{\sqrt{2}}$．
∴xy=4．
∴y與x的函數(shù)關系式為y=$\frac{4}{x}$．
∵當直線OP與圓C相切時，x有最大值，
∴OP=$\sqrt{（\sqrt{2}）^{2}+（\frac{\sqrt{6}}{3}）}$=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．
當點P與點G重合時，x有最小值，最小值=OG=$\sqrt{2}$．
∴自變量x的取值范圍是$\sqrt{2}$≤x≤$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．

點評 本題主要考查的是圓的綜合應用，解答本題主要應用了切線的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)和判定、勾股定理、待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，證得△OCE∽△OPG、△MOC∽△GOP是解題的關鍵．