Question

12．（1）如圖1，在矩形ABCD中，點(diǎn)P為邊BC上一點(diǎn)，且AB=4，BC=10，∠APD=∠B，BP＜PC，求BP的長(zhǎng)；
（2）如圖2，在平行四邊形ABCD中，AB=2$\sqrt{2}$，BC=5，∠APD=∠B=45°，求AP的長(zhǎng)；
（3）如圖3，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠C=45°，AB=2$\sqrt{2}$，在BC邊上存在一點(diǎn)P，使得∠APD=90°，則邊AD的長(zhǎng)滿足的條件為AD≥4．（請(qǐng)直接寫(xiě)出結(jié)果）

Answer 1

分析 （1）由四邊形ABCD是矩形，得到∠B=∠C=90°，根據(jù)余角的性質(zhì)得到∠BAP=∠DPC，推出△ABP∽△PCD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（2）延長(zhǎng)BC至點(diǎn)E，使得CD⊥DE，通過(guò)△ABP∽△DPE，列方程得到BP=1，過(guò)點(diǎn)P作PF⊥AB，解直角三角形即可得到結(jié)論；
（3）作AE⊥BC，DF⊥BC，得到∠AEP=∠DFP=90°，推出△AEP∽△PFD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到AE•DF=PE•PF=4，由PE+PF≥2$\sqrt{PE•PF}$，即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠B=∠C=90°，
∵∠APD=∠B=90°，
∴∠PAB+∠APB=∠APB+∠DPC=90°，
∴∠BAP=∠DPC，
∴△ABP∽△PCD，
∴$\frac{AB}{BP}=\frac{PC}{CD}$，
設(shè)BP=x，∴$\frac{4}{x}=\frac{10-x}{4}$
∴x₁=2，x₂=8，又BP＜PC，
∴BP=2；

（2）延長(zhǎng)BC至點(diǎn)E，使得CD⊥DE，
∵AB=2$\sqrt{2}$，BC=5，∠APD=∠B=45°，
∴∠DPE=∠BAP，∠B=∠E=45°，
∴△ABP∽△DEP，
∴$\frac{AB}{BP}=\frac{PE}{DE}$，
設(shè)BP=x，CE=$\sqrt{2}$CD=4，
∴$\frac{{2\sqrt{2}}}{x}=\frac{9-x}{{2\sqrt{2}}}$，
∴BP=1，
過(guò)點(diǎn)P作PF⊥AB，
則BF=PF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，AF=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∴AP=$\sqrt{5}$；

（3）AD≥4，
作AE⊥BC，DF⊥BC，
∴∠AEP=∠DFP=90°，
∵∠APD=90°，
∴∠EAP+∠APE=∠APE+∠DPF=90°，
∴∠EAP=∠DPF，
∴△AEP∽△PFD，
∴$\frac{AE}{PE}=\frac{PF}{DF}$，
∴AE•DF=PE•PF=4，
∵PE+PF≥2$\sqrt{PE•PF}$，
∴AD=PE+PF≥4．
故答案為：AD≥4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了矩形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，梯形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵．