Question

13．尤秀同學(xué)遇到了這樣一個(gè)問題：如圖1所示，已知AF，BE是△ABC的中線，且AF⊥BE，垂足為P，設(shè)BC=a，AC=b，AB=c．
求證：a²+b²=5c²
該同學(xué)仔細(xì)分析后，得到如下解題思路：
先連接EF，利用EF為△ABC的中位線得到△EPF∽△BPA，故$\frac{EP}{BP}=\frac{PF}{PA}=\frac{EF}{BA}=\frac{1}{2}$，設(shè)PF=m，PE=n，用m，n把PA，PB分別表示出來(lái)，再在Rt△APE，Rt△BPF中利用勾股定理計(jì)算，消去m，n即可得證
（1）請(qǐng)你根據(jù)以上解題思路幫尤秀同學(xué)寫出證明過程．
（2）利用題中的結(jié)論，解答下列問題：
在邊長(zhǎng)為3的菱形ABCD中，O為對(duì)角線AC，BD的交點(diǎn)，E，F(xiàn)分別為線段AO，DO的中點(diǎn)，連接BE，CF并延長(zhǎng)交于點(diǎn)M，BM，CM分別交AD于點(diǎn)G，H，如圖2所示，求MG²+MH²的值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)PF=m，PE=n，連結(jié)EF，如圖1，根據(jù)三角形中位線性質(zhì)得EF∥AB，EF=$\frac{1}{2}$c，則可判斷△EFP∽△BPA，利用相似比得到PB=2n，PA=2m，接著根據(jù)勾股定理得到n²+4m²=$\frac{1}{4}$b²，m²+4n²=$\frac{1}{4}$a²，則5（n²+m²）=$\frac{1}{4}$（a²+b²），而n²+m²=EF²=$\frac{1}{4}$c²，所以a²+b²=5c²；
（2）利用（1）的結(jié)論得MB²+MC²=5BC²=5×3²=45，再利用△AEG∽△CEB可計(jì)算出AG=1，同理可得DH=1，則GH=1，然后利用GH∥BC，根據(jù)平行線分線段長(zhǎng)比例定理得到MB=3GM，MC=3MH，然后等量代換后可得MG²+MH²=5．

解答 解：（1）設(shè)PF=m，PE=n，連結(jié)EF，如圖1，
∵AF，BE是△ABC的中線，
∴EF為△ABC的中位線，AE=$\frac{1}{2}$b，BF=$\frac{1}{2}$a，
∴EF∥AB，EF=$\frac{1}{2}$c，
∴△EFP∽△BPA，
∴$\frac{EP}{BP}=\frac{PF}{PA}=\frac{EF}{BA}=\frac{1}{2}$，即$\frac{n}{PB}$=$\frac{m}{PA}$=$\frac{1}{2}$，
∴PB=2n，PA=2m，
在Rt△AEP中，∵PE²+PA²=AE²，
∴n²+4m²=$\frac{1}{4}$b²①，
在Rt△AEP中，∵PF²+PB²=BF²，
∴m²+4n²=$\frac{1}{4}$a²②，
①+②得5（n²+m²）=$\frac{1}{4}$（a²+b²），
在Rt△EFP中，∵PE²+PF²=EF²，
∴n²+m²=EF²=$\frac{1}{4}$c²，
∴5•$\frac{1}{4}$c²=$\frac{1}{4}$（a²+b²），
∴a²+b²=5c²；
（2）∵四邊形ABCD為菱形，
∴BD⊥AC，
∵E，F(xiàn)分別為線段AO，DO的中點(diǎn)，
由（1）的結(jié)論得MB²+MC²=5BC²=5×3²=45，
∵AG∥BC，
∴△AEG∽△CEB，
∴$\frac{AG}{BC}$=$\frac{AE}{CE}$=$\frac{1}{3}$，
∴AG=1，
同理可得DH=1，
∴GH=1，
∴GH∥BC，
∴$\frac{MG}{MB}$=$\frac{MH}{MC}$=$\frac{GH}{BC}$=$\frac{1}{3}$，
∴MB=3GM，MC=3MH，
∴9MG²+9MH²=45，
∴MG²+MH²=5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的判定：平行于三角形的一邊的直線與其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似；有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似．也考查了三角形中位線性質(zhì)和菱形的性質(zhì)．