Question

3．已知：x為實(shí)數(shù)，[x]表示不超過x的最大整數(shù)，如[3.14]=3，[1]=1，[-1.2]=-2．請(qǐng)你在學(xué)習(xí)，理解上述定義的基礎(chǔ)上，解決下列問題：設(shè)函數(shù)y=x-[x]．
（1）當(dāng)x=2.15時(shí)，求y=x-[x]的值；
（2）當(dāng)0＜x＜2，求函數(shù)y=x-[x]的表達(dá)式，并畫出函數(shù)圖象；
（3）在（2）的條件下，平面直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為圓心，r為半徑作圓，且r≤2，該圓與函數(shù)y=x-[x]恰有一個(gè)公共點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出r的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)[x]的定義進(jìn)行計(jì)算即可；
（2）由已知條件：0＜x＜1，1≤x＜2進(jìn)行分類討論，由此可求出結(jié)論；
（3）根據(jù)（2）的條件下，在兩個(gè)范圍內(nèi)求不等式組即可．

解答 解：（1）當(dāng)x=2.15時(shí)
y=x-[x]
=2.15-[2.15]
=2.15-2
=0.15；

（2）①當(dāng)0＜x＜1時(shí)，[x]=0，
∵y=x-[x]，
∴y=x，
②當(dāng)1≤x＜2時(shí)，[x]=1，
∵y=x-[x]，
∴y=x-1；

（3）在（2）的條件下，函數(shù)y=x-[x]如圖，OA=$\sqrt{2}$，
①當(dāng)0＜x＜1時(shí)，0＜r＜1，且r＜0A=$\sqrt{2}$，即0＜r＜1，
②當(dāng)1≤x＜2時(shí)，1＜r＜2，且$\sqrt{2}$≤r$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
又∵r≤2，
∴$\sqrt{2}$≤r≤2，
綜上所述：0＜r＜1或$\sqrt{2}$≤r≤2．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了函數(shù)值的求法，是基礎(chǔ)題，注意認(rèn)真審題，解題的關(guān)鍵是能夠數(shù)形結(jié)合思想和分類思想的合理運(yùn)用．