Question

9．閱讀材料并解答問題：
與正三角形各邊都相切的圓叫做正三角形的內(nèi)切圓，與四邊形各邊都相切的圓叫做正四邊形的內(nèi)切圓，與正n邊形各邊都相切的圓叫做正n邊形的內(nèi)切圓，設(shè)正n（n≥3）邊形的面積為S_正n邊形，其內(nèi)切圓的半徑為r，試探索正n邊形的面積．

如圖①，當(dāng)n=3時，設(shè)AB切⊙P于點(diǎn)C，連接OC，OA，OB，
∴OC⊥AB，
∴OA=OB，
∴∠AOC=$\frac{1}{2}$∠AOB，∴AB=2BC．
在Rt△AOC中，
∵∠AOC=$\frac{1}{2}$•$\frac{360°}{3}$=60°，OC=r，
∴AC=r•tan60°，∴AB=2r•tan60°，
∴S_△OAB=$\frac{1}{2}$•r•2r•tan60°=r²tan60°，
∴S_正三角形=3S_△OAB=3r²•tan60°．
（1）如圖②，當(dāng)n=4時，仿照上面的方法和過程可求得：S_正四邊形=4S_△OAB=4r²tan45°；
（2）如圖③，當(dāng)n=5時，仿照上面的方法和過程求S_正五邊形；
（3）如圖④，根據(jù)以上探索過程，請直接寫出S_正n邊形=n•r²•tan$\frac{180°}{n}$．

Answer 1

分析 （1）設(shè)AB切⊙P于點(diǎn)C，連接OC，OA，OB，求出∠AOC，在RT△AOC中求出AC，求出△AOB的面積即可解決問題．
（2）類似（1）．
（3）類似（1）．

解答 解：（1）如圖②中，

設(shè)AB切⊙P于點(diǎn)C，連接OC，OA，OB
∴OC⊥AB，
∴OA=OB，
∴∠AOC=$\frac{1}{2}$∠AOB，∴AB=2BC．
在Rt△AOC中，
∵∠AOC=$\frac{1}{2}$•$\frac{360°}{4}$=45°，OC=r，
∴AC=r•tan45°，∴AB=2r•tan45°，
∴S_△OAB=$\frac{1}{2}$•r•2r•tan60°=r²tan45°，
∴S_正四邊形=4S_△OAB=4r²•tan45°．
故答案為4r²•tan45°
（2）如圖③中，

設(shè)AB切⊙P于點(diǎn)C，連接OC，OA，OB，
∴OC⊥AB，
∴OA=OB，
∴∠AOC=$\frac{1}{2}$∠AOB，∴AB=2BC．
在Rt△AOC中，
∵∠AOC=$\frac{1}{2}$•$\frac{360°}{5}$=36°，OC=r，
∴AC=r•tan36°，∴AB=2r•tan36°，
∴S_△OAB=$\frac{1}{2}$•r•2r•tan36°=r²tan36°，
∴S_正五邊形=5S_△OAB=5r²•tan36°．
（3）如圖④中，

設(shè)AB切⊙P于點(diǎn)C，連接OC，OA，OB，
∴OC⊥AB，
∴OA=OB，
∴∠AOC=$\frac{1}{2}$∠AOB，∴AB=2BC．
在Rt△AOC中，
∵∠AOC=$\frac{1}{2}$•$\frac{360°}{n}$=$\frac{180°}{n}$，OC=r，
∴AC=r•tan$\frac{180°}{n}$，
∴AB=2r•tan$\frac{180°}{n}$，
∴S_△OAB=$\frac{1}{2}$•r•2r•tan$\frac{180°}{n}$=r²tan$\frac{180°}{n}$，
∴S_正n邊形=n•S_△OAB=n•r²•tan$\frac{180°}{n}$．
故答案為n•r²•tan$\frac{180°}{n}$．

點(diǎn)評 本題考查圓的綜合題、銳角三角函數(shù)、等腰三角形的性質(zhì)、正多邊形的面積等知識，解題的關(guān)鍵是把多邊形轉(zhuǎn)化為三角形，記住多邊形的中心角=$\frac{360°}{n}$，學(xué)會靈活應(yīng)用銳角三角函數(shù)，屬于中考�？碱}型．