Question

6．如圖，△ABC、△ADC、△AMN均為等邊三角形，AM＞AB，AM與DC交于點(diǎn)E，AN與BC交于點(diǎn)F．
（1）求證：△ABF≌△ACE；
（2）猜測△AEF的形狀，并證明你的結(jié)論；
（3）請直接指出當(dāng)F點(diǎn)在BC何處時，AC⊥EF．

Answer 1

分析 （1）由等邊三角形的性質(zhì)得出∠B=∠BAC=∠DAC=∠ACD=∠MAN=60°，AB=AC，可得∠BAF=∠CAE，由ASA證明△ABF≌△ACE即可；
（2）由全等三角形的性質(zhì)得出AE=AF，得出△AEF是等邊三角形即可；
（3）由等邊三角形的性質(zhì)得出∠CAF=$\frac{1}{2}$∠EAF=30°，由三角形的外角性質(zhì)證出∠AFB=90°，求出∠BAF=30°，由含30°角的直角三角形的性質(zhì)得出BF=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$BC即可．

解答 （1）證明：∵△ABC、△ADC、△AMN均為等邊三角形，
∴∠B=∠BAC=∠DAC=∠ACD=∠MAN=60°，AB=AC，
∴∠BAF=∠CAE，
在△ABF和△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠ACD}&{\;}\\{AB=AC}&{\;}\\{∠BAF=∠CAE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△ACE（ASA）；
（2）解：△AEF是等邊三角形，理由如下：
由（1）得：△ABF≌△ACE，
∴AE=AF，
∵∠MAN=60°，
∴△AEF是等邊三角形；
（3）解：當(dāng)F在BC的中點(diǎn)時，AC⊥EF；理由如下：
∵△AEF是等邊三角形，AC⊥EF，
∴∠CAF=$\frac{1}{2}$∠EAF=30°，
∴∠AFB=∠CAF+∠ACB=30°+60°=90°，∠BAF=60°-30°=30°，
∴BF=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$BC，即F為BC的中點(diǎn)．

點(diǎn)評 本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、含30°角的直角三角形的性質(zhì)等知識；熟練掌握等邊三角形的判定與性質(zhì)，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．