Question

8．計(jì)算：
$\frac{\frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2}}$+$\frac{\frac{1}{3}}{（1+\frac{1}{2}）（1+\frac{1}{3}）}$+$\frac{\frac{1}{4}}{（1+\frac{1}{2}）（1+\frac{1}{3}）（1+\frac{1}{4}）}$+…+$\frac{\frac{1}{1999}}{（1+\frac{1}{2}）（1+\frac{1}{3}）（1+\frac{1}{4}）+…+（1+\frac{1}{1999}）}$．

Answer 1

分析 原式括號中兩項(xiàng)通分并利用同分母分?jǐn)?shù)的加法法則計(jì)算，約分整理后將各自的分母求和，利用拆項(xiàng)法變形后，計(jì)算即可得到結(jié)果．

解答 解：原式=$\frac{\frac{1}{2}}{\frac{3}{2}}$+$\frac{\frac{1}{3}}{\frac{3}{2}×\frac{4}{3}}$+$\frac{\frac{1}{4}}{\frac{3}{2}×\frac{4}{3}×\frac{5}{4}}$+…+$\frac{\frac{1}{1999}}{\frac{3}{2}×\frac{4}{3}×\frac{5}{4}×…×\frac{2000}{1999}}$
=$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{10}$+…+$\frac{1}{1999000}$
=$\frac{1}{1+2}$+$\frac{1}{1+2+3}$+$\frac{1}{1+2+3+4}$+$\frac{1}{1+2+3+4+5}$+…+$\frac{1}{1+2+…+1999}$
=$\frac{2}{1×2}$+$\frac{2}{2×3}$+$\frac{2}{3×4}$+$\frac{2}{4×5}$+…+$\frac{2}{1998×1999}$
=2×（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{1998}$-$\frac{1}{1999}$）
=2×（1-$\frac{1}{1999}$）
=2×$\frac{1998}{1999}$
=$\frac{3996}{1999}$．

點(diǎn)評 此題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．