Question

19．如圖，等邊三角形OAB的邊長(zhǎng)為2，P是線段OA上任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)O，A），過O、P兩點(diǎn)的拋物線和過A，P兩點(diǎn)的拋物線的頂點(diǎn)分別在OB，AB上，則這兩個(gè)二次函數(shù)的最大值之和等于$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 連接PM、PN，根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性可知OM=PM，PN=AN，從而判斷出△POM和△ANP是等邊三角形，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求解即可．

解答 解：如圖，連接PM、PN，
由二次函數(shù)的性質(zhì)，OM=PM，PN=AN，
∵△OAB是等邊三角形，
∴∠AOB=∠OAB=60°，
∴△POM和△ANP是等邊三角形，
∵OA=2，
∴點(diǎn)B、C的縱坐標(biāo)之和為2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，
即兩個(gè)二次函數(shù)的最大值之和等于$\sqrt{3}$．
故答案為$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的最值問題，等邊三角形的判定與性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造出等邊三角形并利用等邊三角形的知識(shí)求解是解題的關(guān)鍵．