Question

12．x取什么值時(shí)，分式$\frac{{x}^{2}-2x-3}{{x}^{2}+2x}$的值是零？是正數(shù)？是負(fù)數(shù)？

Answer 1

分析 分式值為零的條件是分子等于零且分母不等于零；分子和分母同號(hào)時(shí)值為正數(shù)；分子和分母異號(hào)時(shí)值為負(fù)數(shù)．

解答 解：∵分式$\frac{{x}^{2}-2x-3}{{x}^{2}+2x}$的值為零，
∴x²-2x-3=0，且x²+2x≠0．
解得：x=3或x=-1．
$\frac{{x}^{2}-2x-3}{{x}^{2}+2x}$=$\frac{（x-3）（x+1）}{x（x+2）}$．
①當(dāng)x＜-2時(shí)，x（x+1）（x+2）（x-3）＞0，分式的值為正數(shù)；
②當(dāng)-2＜x＜-1時(shí)，x（x+1）（x+2）（x-3）＜0，分式的值為負(fù)數(shù)；
③當(dāng)-1＜x＜0時(shí)，x（x+1）（x+2）（x-3）＞0，分式的值為正數(shù)；
④當(dāng)0＜x＜3時(shí)，x（x+1）（x+2）（x-3）＜0，分式的值為負(fù)數(shù)；
⑤當(dāng)x＞3時(shí)，x（x+1）（x+2）（x-3）＞0，分式的值為正數(shù)；
綜上所述當(dāng)x＜-2或-1＜x＜0，或x＞3時(shí)，分式的值為正數(shù)；當(dāng)-2＜x＜-1或0＜x＜3時(shí)，分式的值為負(fù)數(shù)．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是分式的值，依據(jù)分類討論思想求得分式的值為正數(shù)和負(fù)數(shù)時(shí)x的取值范圍是解題的關(guān)鍵．