Question

2．如圖，函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（x＜0）的圖象與直線y=$\frac{1}{2}$x+m相交于點A和點B．過點A作AE⊥x軸于點E，過點B作BF⊥y軸于點F，P為線段AB上的一點，連接PE、PF．若△PAE和△PBF的面積相等，且x_P=-$\frac{5}{2}$，x_A-x_B=-3，則k的值是（　�。�

• A． -5
• B． $-\frac{7}{2}$
• C． -2
• D． -1

Answer 1

分析 由題意可得x_A、x_B是方程$\frac{k}{x}$=$\frac{1}{2}$x+m即x²+2mx-2k=0的兩根，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得x_A+x_B=-2m，x_A•x_B=-2k．易得x_A•y_A=x_B•y_B=k，由S_△PAE=S_△PBF可求出y_P，然后把點P的坐標代入y=$\frac{1}{2}$x+m就可求出m，再根據(jù)x_A-x_B=-3就可求出k的值．

解答 解：由題意可得：x_A、x_B是方程$\frac{k}{x}$=$\frac{1}{2}$x+m即x²+2mx-2k=0的兩根，
∴x_A+x_B=-2m，x_A•x_B=-2k．
∵點A、B在反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象上，
∴x_A•y_A=x_B•y_B=k．
∵S_△PAE=S_△PBF，
∴$\frac{1}{2}$y_A（x_P-x_A）=$\frac{1}{2}$（-x_B）（y_B-y_P），
整理得x_P•y_A=x_B•y_P，
∴-$\frac{5}{2}$$\frac{k}{{x}_{A}}$=x_B•y_P，
∴-$\frac{5}{2}$k=x_A•x_B•y_P=-2ky_P，．
∵k≠0，
∴y_P=$\frac{5}{4}$，
∴$\frac{1}{2}$×（-$\frac{5}{2}$）+m=$\frac{5}{4}$，
∴m=$\frac{5}{2}$．
∵x_A-x_B=-3，
∴（x_A-x_B）²=（x_A+x_B）²-4x_A•x_B=（-2×$\frac{5}{2}$）²+8k=9，
∴k=-2．
故選C．

點評 本題主要考查了運用待定系數(shù)法求直線的解析式、根與系數(shù)的關(guān)系、完全平方公式等知識，運用根與系數(shù)的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．