Question

3．已知拋物線y=-$\frac{1}{2}{x^2}$+bx+c與y軸交于點(diǎn)C，與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A（-4，0），B（1，0）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）已知點(diǎn)P在拋物線上，連接PC，PB，若△PBC是以BC為直角邊的直角三角形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）已知點(diǎn)E在x軸上，點(diǎn)F在拋物線上，是否存在以A，C，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）因?yàn)閽佄锞�經(jīng)過點(diǎn)A（-4，0），B（1，0），所以可以設(shè)拋物線為y=-$\frac{1}{2}$（x+4）（x-1），展開即可解決問題．
（2）先證明∠ACB=90°，點(diǎn)A就是所求的點(diǎn)P，求出直線AC解析式，再求出過點(diǎn)B平行AC的直線的解析式，利用方程組即可解決問題．
（3）分AC為平行四邊形的邊，AC為平行四邊形的對(duì)角線兩種切線討論即可解決問題．

解答 解：（1）拋物線的解析式為y=-$\frac{1}{2}$（x+4）（x-1），即y=-$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x+2；
（2）存在．
當(dāng)x=0，y═-$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x+2=2，則C（0，2），
∴OC=2，
∵A（-4，0），B（1，0），
∴OA=4，OB=1，AB=5，
當(dāng)∠PCB=90°時(shí)，
∵AC²=4²+2²=20，BC²=2²+1²=5，AB²=5²=25
∴AC²+BC²=AB²
∴△ACB是直角三角形，∠ACB=90°，
∴當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，△PBC是以BC為直角邊的直角三角形，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（-4，0）；
當(dāng)∠PBC=90°時(shí)，PB∥AC，如圖1，
設(shè)直線AC的解析式為y=mx+n，
把A（-4，0），C（0，2）代入得$\left\{\begin{array}{l}{-4m+n=0}\\{n=2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{1}{2}}\\{n=2}\end{array}\right.$，
∴直線AC的解析式為y=$\frac{1}{2}$x+2，
∵BP∥AC，
∴直線BP的解析式為y=$\frac{1}{2}$x+p，
把B（1，0）代入得$\frac{1}{2}$+p=0，解得p=-$\frac{1}{2}$，
∴直線BP的解析式為y=$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{2}$，
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}}\\{y=-\frac{1}{2}{x}^{2}-\frac{3}{2}x+2}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-5}\\{y=-3}\end{array}\right.$，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（-5，-3）；
綜上所述，滿足條件的P點(diǎn)坐標(biāo)為（-4，0），P₂（-5，-3）；
（3）存在點(diǎn)E，設(shè)點(diǎn)E坐標(biāo)為（m，0），F(xiàn)（n，-$\frac{1}{2}$n²-$\frac{3}{2}$n+2）
①當(dāng)AC為邊，CF₁∥AE₁，易知CF₁=3，此時(shí)E₁坐標(biāo)（-7，0），
②當(dāng)AC為邊時(shí)，AC∥EF，易知點(diǎn)F縱坐標(biāo)為-2，
∴-$\frac{1}{2}$n²-$\frac{3}{2}$n+2=-2，解得n=$\frac{-3±\sqrt{41}}{2}$，得到F₂（$\frac{-3-\sqrt{41}}{2}$，-2），F(xiàn)₃（$\frac{-3+\sqrt{41}}{2}$，-2），
根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式得到：$\frac{-4+m}{2}$=$\frac{0+\frac{-3-\sqrt{41}}{2}}{2}$或$\frac{-4+m}{2}$=$\frac{0+\frac{-3+\sqrt{41}}{2}}{2}$，
解得m=$\frac{5-\sqrt{41}}{2}$或$\frac{5+\sqrt{41}}{2}$，
此時(shí)E₂（$\frac{5-\sqrt{41}}{2}$，0），E₃（$\frac{5+\sqrt{41}}{2}$，0），
③當(dāng)AC為對(duì)角線時(shí)，AE₄=CF₁=3，此時(shí)E₄（-1，0），
綜上所述滿足條件的點(diǎn)E為（-7，0）或（-1，0）或（$\frac{5-\sqrt{41}}{2}$，0）或（$\frac{5+\sqrt{41}}{2}$，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)綜合題、一次函數(shù)、勾股定理、平行四邊形的判定和性質(zhì)、中點(diǎn)坐標(biāo)公式等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是構(gòu)建一次函數(shù)利用方程組解決點(diǎn)P坐標(biāo)，學(xué)會(huì)分類討論，學(xué)會(huì)用方程的思想解決問題，屬于中考?jí)狠S題．