Question

15．【發(fā)現(xiàn)證明】
如圖1，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在正方形ABCD的邊BC，CD上，∠EAF=45°，試判斷BE，EF，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系．
小聰把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG，通過證明△AEF≌△AGF；從而發(fā)現(xiàn)并證明了EF=BE+FD．
【類比引申】
（1）如圖2，點(diǎn)E、F分別在正方形ABCD的邊CB、CD的延長(zhǎng)線上，∠EAF=45°，連接EF，請(qǐng)根據(jù)小聰?shù)陌l(fā)現(xiàn)給你的啟示寫出EF、BE、DF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；
【聯(lián)想拓展】
（2）如圖3，如圖，∠BAC=90°，AB=AC，點(diǎn)E、F在邊BC上，且∠EAF=45°，若BE=3，EF=5，求CF的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG，可使AB與AD重合，證出△AFE≌△AFG，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出EF=FG，即可得出答案；
（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得AG=AE，CG=BE，∠ACG=∠B，∠EAG=90°，∠FCG=∠ACB+∠ACG=∠ACB+∠B=90°，根據(jù)勾股定理有FG²=FC²+CG²=BE²+FC²；根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到FG=EF，利用勾股定理可得CF．

解答 解：（1）DF=EF+BE．
理由：如圖1所示，∵AB=AD，
∴把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG，可使AB與AD重合，
∵∠ADC=∠ABE=90°，
∴點(diǎn)C、D、G在一條直線上，
∴EB=DG，AE=AG，∠EAB=∠GAD，
∵∠BAG+∠GAD=90°，
∴∠EAG=∠BAD=90°，
∵∠EAF=45°，
∴∠FAG=∠EAG-∠EAF=90°-45°=45°，
∴∠EAF=∠GAF，
在△EAF和△GAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{EA=GA}\\{∠EAF=∠GAF}\\{AF=AF}\end{array}\right.$，
∴△EAF≌△GAF，
∴EF=FG，
∵FD=FG+DG，
∴DF=EF+BE；

（2）∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴將△ABE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得△ACG，連接FG，如圖2，
∴AG=AE，CG=BE，∠ACG=∠B，∠EAG=90°，
∴∠FCG=∠ACB+∠ACG=∠ACB+∠B=90°，
∴FG²=FC²+CG²=BE²+FC²；
又∵∠EAF=45°，
而∠EAG=90°，
∴∠GAF=90°-45°，
在△AGF與△AEF中，
$\left\{\begin{array}{l}{EA=GA}\\{∠EAF=∠GAF}\\{AF=AF}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△AGF，
∴EF=FG，
∴CF²=EF²-BE²=5²-3²=16，
∴CF=4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理，正方形的性質(zhì)的應(yīng)用，正確的作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．