Question

8．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點，已知點F（2$\sqrt{3}$，0），直角GF交y軸正半軸于點G，且∠GFO=30°．
（1）請直接寫出點G的坐標(biāo)；
（2）若⊙O的半徑為1，點P是直線GF上的動點，直線PA、PB分別與⊙O相切于點A、B．
①求切線長PB的最小值；
②在直線GF上是否存在點P，使得∠APB=60°？若存在，請求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由已知條件得到OF=2$\sqrt{3}$，解直角三角形即可得到結(jié)論；
（2）①連接OPOP，根據(jù)切線的性質(zhì)得到OB⊥PB，當(dāng)OP⊥GF時，線段PO最短，解直角三角形得到OP=$\sqrt{3}$，PB=$\sqrt{O{P}^{2}-O{B}^{2}}$=$\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}-{1}^{2}}$=2；
②根據(jù)切線的性質(zhì)和角平分線的定義得到∠OPB=30°，求得OP=2，點P是以點O為圓心，2為半徑的圓與直線GF的交點，由于點P₁與點G（0，2）重合，即P₁（0，2），推出△GOP₂是等邊三角形求得FP₂=2，即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）∵F（2$\sqrt{3}$，0），
∴OF=2$\sqrt{3}$，
∵∠GFO=30°，
∴OG=2，
∴點G的坐標(biāo)是（0，2）；

（2）①連接OPOP，如圖，
∵PB切⊙OO于點BB，
∴OB⊥PB，
根據(jù)勾股定理得PB²=OP²-OB²，
∵OB=1，
∴要使BP的值最小，則需OP的值最小，當(dāng)OP⊥GF時，線段PO最短，
 在Rt△PFO，OF=2$\sqrt{3}$，∠GFO=30°，
∴OP=$\sqrt{3}$，
∴PB=$\sqrt{O{P}^{2}-O{B}^{2}}$=$\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{2}$；
②存在，
∵PA、PB均與⊙O相切，
∴OP平分∠APB，
∵∠APB=60°，
∴∠OPB=30°，
∵OB=1，∴OP=2，
∴點P是以點O為圓心，2為半徑的圓與直線GF的交點，
 即圖中的P₁、P₂兩點，連接OP₂，
∵OG=2，
∴點P₁與點G（0，2）重合，即P₁（0，2），
 在Rt△GOF中，∠GFO=30°，
∴∠OGF=60°，
∵OG=OP₂，
∴△GOP₂是等邊三角形，
∴GP₂=OG=2，已知GF=4，
∴FP₂=2，
∴P₂為GF的中點，
∴P₂（$\sqrt{3}$，1），
綜上所述，滿足條件的點P的坐標(biāo)為（0，2）或（$\sqrt{3}$，1）．

點評 本題考查了切線的性質(zhì)，勾股定理角平分線的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握切線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．