Question

11．二次函數(shù)y=$\frac{2}{3}$x²的圖象如圖所示，點(diǎn)A₀位于坐標(biāo)原點(diǎn)，A₁，A₂，A₃，…，A₂₀₁₆在y軸的正半軸上，B₁，B₂，B₃，…，B₂₀₁₆ 在二次函數(shù)y=$\frac{2}{3}$x²第一象限的圖象上，若△A₀B₁A₁，△A₁B₂A₂，△A₂B₃A₃，…，△A₂₀₁₅B₂₀₁₆A₂₀₁₆都為等邊三角形，則△A₂₀₁₅B₂₀₁₆A₂₀₁₆的邊長(zhǎng)=2016．

Answer 1

分析 根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得∠A₁A₀B₁=60°，然后表示出A₀B₁的解析式，與二次函數(shù)解析式聯(lián)立求出點(diǎn)B₁的坐標(biāo)，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出A₀A₁，同理表示出A₁B₂的解析式，與二次函數(shù)解析式聯(lián)立求出點(diǎn)B₂的坐標(biāo)，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出A₁A₂，同理求出B₃的坐標(biāo)，然后求出A₂A₃，從而得到等邊三角形的邊長(zhǎng)為從1開(kāi)始的連續(xù)自然數(shù)，與三角形所在的序數(shù)相等．

解答 解：∵△A₀B₁A₁是等邊三角形，
∴∠A₁A₀B₁=60°，
∴A₀B₁的解析式為y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{\sqrt{3}}{3}x}\\{y=\frac{2}{3}{x}^{2}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{y=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=0}\end{array}\right.$（為原點(diǎn)舍棄）
∴B₁（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$），
∴等邊△A₀B₁A₁的邊長(zhǎng)為$\frac{1}{2}$×2=1，
同理，A₁B₂的解析式為y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+1，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{\sqrt{3}}{3}x+1}\\{y=\frac{2}{3}{x}^{2}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}}\\{y=2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{y=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$（在第二象限舍棄）
∴B₂（$\sqrt{3}$，2），
∴等邊△A₁B₂A₂的邊長(zhǎng)A₁A₂=2×（2-1）=2，
同理可求出B₃（$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，$\frac{9}{2}$），
所以，等邊△A₂B₃A₃的邊長(zhǎng)A₂A₃=2×（$\frac{9}{2}$-1-2）=3，
…，
以此類推，系列等邊三角形的邊長(zhǎng)為從1開(kāi)始的連續(xù)自然數(shù)，
△A₂₀₁₅B₂₀₁₆A₂₀₁₆的邊長(zhǎng)為2016．
故答案為：2016．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，等邊三角形的性質(zhì)，主要利用了聯(lián)立兩函數(shù)解析式求交點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)B系列的坐標(biāo)求出等邊三角形的邊長(zhǎng)并且發(fā)現(xiàn)系列等邊三角形的邊長(zhǎng)為從1開(kāi)始的連續(xù)自然數(shù)是解題的關(guān)鍵．