Question

10．已知，如圖，在平行四邊形ABCD中，∠ABC=60°，AB=20cm，AD=30cm，動點Q從點A出發(fā)，沿AB向點B勻速運動，速度為2cm/s，同時，動點P從點B出發(fā)，沿BC向點C勻速運動，速度為3cm/s，當點P停止運動時，點Q也隨之停止運動，連接PQ，設運動的時間為t秒（0＜t＜10）．
（1）當t為何值時，PQ⊥AB？
（2）設五邊形AQPCD的面積為S（cm²），求S與t的函數關系式；
（3）是否存在某一時刻使得點B在線段PQ的垂直平分線上？若存在，求出此時t的值，并求出此時五邊形AQPCD的面積；若不存在，請說明理由；
（4）試用含t的代數式表示線段PQ的長度．

Answer 1

分析 （1）先由PQ⊥AB得出直角三角形，再用銳角三角函數建立方程求解即可；
（2）先求出平行四邊形ABCD的邊BC上的高AF=10$\sqrt{3}$，從而求出平行四邊形ABCD的面積，再求出三角形BPQ的面積，做差即可；
（3）由條件得出BQ=BP，求出時間t的值，代入（2）的函數關系式中即可求出五邊形AQPCD的面積；
（3）利用銳角三角函數求出BE，QE，再用勾股定理求出PE，從而得出PQ．

解答 解：（1）由運動知AQ=2t，BP=3t，
∴BQ=AB-AQ=20-2t，
∵PQ⊥AB，
∴∠BQP=90°，
在Rt△BQP中，∠ABC=60°，
∴cos∠ABC=$\frac{BQ}{BP}$，
∴$\frac{1}{2}$=$\frac{20-2t}{3t}$，
∴t=$\frac{40}{7}$，
（2）如圖，

過點Q作QE⊥BC，過點A作AF⊥BC，
∴∠BEQ=∠AFB=90°，
在Rt△ABF中，AF=ABsin∠ABC=20×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=10$\sqrt{3}$
∴S_{平行四邊形ABCD}=BC×AF=30×10$\sqrt{3}$=300$\sqrt{3}$，
在Rt△BEQ中，∠ABC=60°，
∴cos∠ABC=$\frac{BE}{BQ}$，
∴BE=BQcos∠ABC=（20-2t）×$\frac{1}{2}$=10-t，
QE=BQsin∠ABC=（20-2t）×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$（10-t），
∴S_△BPQ=$\frac{1}{2}$BP×QE=$\frac{1}{2}$×3t×$\sqrt{3}$（10-t）=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$t（10-t）．
∴S=S_{平行四邊形ABCD}-S_△BPQ=300$\sqrt{3}$-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$t（10-t）=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$t²-15$\sqrt{3}$t+300$\sqrt{3}$．
（3）存在，
∵點B在線段PQ的垂直平分線上，
∴BQ=BP，
∴20-2t=3t，
∴t=4，
∴S=S_{平行四邊形ABCD}-S_△BPQ=300$\sqrt{3}$-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$t（10-t）=300$\sqrt{3}$-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$×4（10-4）=264$\sqrt{3}$，
（4）在Rt△BEQ中，∠ABC=60°，
∴cos∠ABC=$\frac{BE}{BQ}$，
∴BE=BQcos∠ABC=（20-2t）×$\frac{1}{2}$=10-t，
QE=BQsin∠ABC=（20-2t）×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$（10-t），
在Rt△QPE中，PE=BP-BE=3t-（10-t）=4t-10，
∴PQ=$\sqrt{Q{E}^{2}+P{E}^{2}}$=$\sqrt{[\sqrt{3}（10-t）]^{2}+（4t-10）^{2}}$=$\sqrt{5{t}^{2}-52t+200}$．

點評 此題是四邊形綜合題，主要考查了銳角三角函數，勾股定理，三角形的面積，平行四邊形的面積，垂直平分線的性質，垂直的意義，解本題的關鍵是求出求出三角形PQB的面積．難點是求出PQ．