Question

5．在⊙O中，BC為直徑，A為$\widehat{BC}$的中點(diǎn)，點(diǎn)D在AC上運(yùn)動(dòng)（與點(diǎn)A、C不重合），AC與BD交于點(diǎn)E，連接AD．

（1）如圖1，求證：∠ADB=45°；
（2）如圖2，點(diǎn)F在BD弦上，∠AFB=135°，連接CD，求證：BF=CD；
（3）在（2）的條件下，連接AO，當(dāng)AE=CE時(shí)，求tan∠FAO的值．

Answer 1

分析 （1）首先根據(jù)直徑的性質(zhì)，證明∠C=45°，根據(jù)∠ADB=∠C即可解決問(wèn)題．
（2）如圖2中，連接AB、AO．欲證明BF=CD，只要證明△ABF≌△ACD即可．
（3）如圖2中，首先證明∠FAO=∠ABE，根據(jù)tan∠FAO=tan∠ABE=$\frac{AE}{AB}$，結(jié)合條件即可解決問(wèn)題．

解答 （1）證明：如圖1中，連接AB，

∵BC是直徑，
∴∠BAC=90，
∵$\widehat{AB}$=$\widehat{AC}$，
∴AB=AC，
∴∠ABC=∠C=45°，
∴∠ADB=∠C=45°．

（2）如圖2中，連接AB、AO．

∵∠AFB=135°，
∴∠AFD=180°-∠AFB=45°，
∵∠ADB=45°，
∴∠AFD=∠ADF=45°，
∴AF=AD，
∴∠FAD=∠BAC=90°，
∴∠BAF=∠CAD，
在△ABF和△ACD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAF=∠CAD}\\{AF=AD}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△ACD，
∴BF=CD．

（3）在圖中，∵∠BAF=∠CAD=∠CBD，
∵∠FAO+∠BAF=∠CBD+∠ABF=45°，
∴∠ABE=∠FAO，
∵AB=AC，AE=EC，
∴AB=2AE，
∴tan∠FAO=tan∠ABE=$\frac{AE}{AB}$=$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓綜合題、全等三角形判定和性質(zhì)、銳角三角函數(shù)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．