Question

12．反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的圖象經(jīng)過(guò)線段OA的端點(diǎn)A，O為原點(diǎn)，作AB⊥x軸于點(diǎn)B，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，0），tan∠AOB=$\frac{3}{2}$，將線段AB沿x軸正方向平移到線段DC的位置，反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的圖象恰好經(jīng)過(guò)DC的中點(diǎn)E．
（1）求k的值和直線AE的函數(shù)表達(dá)式；
（2）若直線AE與x軸交于點(diǎn)M、與y軸交于點(diǎn)N，請(qǐng)你探索線段AN與線段ME的大小關(guān)系，寫出你的結(jié)論并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）由已知得，在Rt△OAB中，OB=2，tan∠AOB=$\frac{3}{2}$，求得AB=3，代入y=$\frac{k}{x}$得到k=xy=6，根據(jù)已知條件得到點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為$\frac{3}{2}$，由點(diǎn)E在雙曲線y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的圖象上，得到點(diǎn)E的坐標(biāo)為（4，$\frac{3}{2}$），解方程組即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)y=-$\frac{3}{4}$x+$\frac{9}{2}$求得點(diǎn)M（6，0），N（0，$\frac{9}{2}$），延長(zhǎng)DA交y軸于點(diǎn)F，則AF⊥ON，且AF=2，OF=3，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）由已知得，在Rt△OAB中，OB=2，tan∠AOB=$\frac{3}{2}$，
∴AB=3，
∴A點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，3），
∴k=xy=6，
∵DC由AB平移得到，點(diǎn)E為DC的中點(diǎn)，
∴點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為$\frac{3}{2}$，
又∵點(diǎn)E在y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的圖象上，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（4，$\frac{3}{2}$），
設(shè)直線MN的函數(shù)表達(dá)式為y=k₁x+b，
則$\left\{\begin{array}{l}2{k_1}+b=3\\ 4{k_1}+b=\frac{3}{2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k_1}=-\frac{3}{4}\\ b=\frac{9}{2}\end{array}\right.$，
∴直線MN的函數(shù)表達(dá)式為y=-$\frac{3}{4}$x+$\frac{9}{2}$；

（2）結(jié)論：AN=ME，
理由：在表達(dá)式y(tǒng)=-$\frac{3}{4}$x+$\frac{9}{2}$中，
令y=0可得x=6，令x=0可得y=$\frac{9}{2}$，
∴點(diǎn)M（6，0），N（0，$\frac{9}{2}$），
延長(zhǎng)DA交y軸于點(diǎn)F，則AF⊥ON，且AF=2，OF=3，
∴NF=ON-OF=x，∵CM=6-4=2=AF，EC=$\frac{3}{2}$=NF，
在△ANF與△MEC中，$\left\{\begin{array}{l}{AF=CM}\\{∠AFN=∠MCE}\\{FN=CE}\end{array}\right.$，
∴△ANF≌△MEC，
∴AN=ME．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，解直角三角形，圖形與坐標(biāo)的性質(zhì)，求的點(diǎn)E的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．