Question

17．如圖，半圓O的直徑AB=4，以長(zhǎng)為2的弦PQ為直徑，向點(diǎn)O方向作半圓M，其中P點(diǎn)在$\widehat{AQ}$上且不與A點(diǎn)重合，但Q點(diǎn)可與B點(diǎn)重合．
發(fā)現(xiàn)：$\widehat{AP}$的長(zhǎng)與$\widehat{QB}$的長(zhǎng)之和為定值l，求l：
思考：點(diǎn)M與AB的最大距離為$\sqrt{3}$，此時(shí)點(diǎn)P，A間的距離為2；
點(diǎn)M與AB的最小距離為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，此時(shí)半圓M的弧與AB所圍成的封閉圖形面積為$\frac{π}{6}$-$\frac{\sqrt{3}}{4}$；
探究：當(dāng)半圓M與AB相切時(shí)，求$\widehat{AP}$的長(zhǎng)．
（注：結(jié)果保留π，cos35°=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，cos55°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$）

Answer 1

分析 （1）半圓O的長(zhǎng)度是固定不變的，由于PQ也是定值，所以$\widehat{PQ}$的長(zhǎng)度也是固定值，所以$\widehat{AP}$與$\widehat{QB}$的長(zhǎng)之和為定值；
（2）過(guò)點(diǎn)M作MC⊥AB于點(diǎn)C，當(dāng)C與O重合時(shí)，M與AB的距離最大，此時(shí)，∠AOP=60°，AP=2；當(dāng)Q與B重合時(shí)，M與AB的距離最小，此時(shí)圍成的封閉圖形面積可以用扇形DMB的面積減去△DMB的面積即可；
（3）當(dāng)半圓M與AB相切時(shí)，此時(shí)MC=1，且分以下兩種情況討論，當(dāng)C在線(xiàn)段OA上；當(dāng)C在線(xiàn)段OB上，然后分別計(jì)出$\widehat{AP}$的長(zhǎng)．

解答 解：發(fā)現(xiàn)：如圖1，連接OP、OQ，
∵AB=4，
∴OP=OQ=2，
∵PQ=2，
∴△OPQ是等邊三角形，
∴∠POQ=60°，
∴$\widehat{PQ}$=$\frac{60°π×2}{180°}$=$\frac{2}{3}π$，
又∵半圓O的長(zhǎng)為：$\frac{1}{2}$π×4=2π，
∴$\widehat{AP}$+$\widehat{QB}$=2π-$\frac{2}{3}$π=$\frac{4}{3}π$，
∴l(xiāng)=$\frac{4}{3}$π；

思考：如圖2，過(guò)點(diǎn)M作MC⊥AB于點(diǎn)C，
連接OM，
∵OP=2，PM=1，
∴由勾股定理可知：OM=$\sqrt{3}$，
當(dāng)C與O重合時(shí)，
M與AB的距離最大，最大值為$\sqrt{3}$，
連接AP，
此時(shí)，OM⊥AB，
∴∠AOP=60°，
∵OA=OP，
∴△AOP是等邊三角形，
∴AP=2，

如圖3，當(dāng)Q與B重合時(shí)，
連接DM，
∵∠MOQ=30°，
∴MC=$\frac{1}{2}$OM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
此時(shí)，M與AB的距離最小，最小值為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
設(shè)此時(shí)半圓M與AB交于點(diǎn)D，
DM=MB=1，
∵∠ABP=60°，
∴△DMB是等邊三角形，
∴∠DMB=60°，
∴扇形DMB的面積為：$\frac{60°π×{1}^{2}}{360°}$=$\frac{π}{6}$，
△DMB的面積為：$\frac{1}{2}$MC•DB=$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$×1=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∴半圓M的弧與AB所圍成的封閉圖形面積為：$\frac{π}{6}$-$\frac{\sqrt{3}}{4}$；

探究：當(dāng)半圓M與AB相切時(shí)，
此時(shí)，MC=1，
如圖4，當(dāng)點(diǎn)C在線(xiàn)段OA上時(shí)，
在Rt△OCM中，
由勾股定理可求得：OC=$\sqrt{2}$，
∴cos∠AOM=$\frac{OC}{OM}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴∠AOM=35°，
∵∠POM=30°，
∴∠AOP=∠AOM-∠POM=5°，
∴$\widehat{AP}$=$\frac{5°π×2}{180°}$=$\frac{π}{18}$，
當(dāng)點(diǎn)C在線(xiàn)段OB上時(shí)，
此時(shí)，∠BOM=35°，
∵∠POM=30°，
∴∠AOP=180°-∠POM-∠BOM=115°
∴$\widehat{AP}$=$\frac{115°π×2}{180°}$=$\frac{23}{18}π$，
綜上所述，當(dāng)半圓M與AB相切時(shí)，$\widehat{AP}$的長(zhǎng)為$\frac{π}{18}$或$\frac{23}{18}π$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的綜合問(wèn)題，解題關(guān)鍵是根據(jù)題意畫(huà)出圖形分析，涉及勾股定理，弧長(zhǎng)公式，圓的切線(xiàn)性質(zhì)等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，解答本題需要我們熟練各部分的內(nèi)容，對(duì)學(xué)生的綜合能力要求較高，一定要注意將所學(xué)知識(shí)貫穿起來(lái)．