Question

15．如圖1，有一張平行四邊形紙片，將紙片沿著對角線剪開，形成兩個(gè)全等的三角形，∠A=100°，∠ACB=60°，將△DEF沿著BE的方向以每秒2cm的速度運(yùn)動(dòng)到圖2的位置，連接AF、CD．

（1）求證：四邊形AFDC是平行四邊形；
（2）若AC=4cm，BC=10cm，△DEF沿著BE的方向運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
①當(dāng)t為何值時(shí)，?AFDC是菱形？請說明你的理由；
②?AFDC能是矩形嗎？若能，求出t的值及此矩形的面積；若不能，說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用△ABF≌△DEC，得出AF=CD，∠AFB=∠DCE，進(jìn)而求出∠AFC=∠DGF，即可得出四邊形AFDC是平行四邊形；
（2）利用當(dāng)t=1秒時(shí)，首先得出△CBE是等邊三角形，進(jìn)而求出BC=CE，即可求出四邊形AFDC是菱形；
（3）當(dāng)t=3秒時(shí)，A，E重合，B，D重合，即可得出矩形以及它的面積．

解答 （1）證明：∵△ABC≌△DEF，
∴∠ABC=∠DEF，AB=DE．
根據(jù)平移的性質(zhì)得到：BF=EC．
在△ABF與△DEC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=DE}\\{∠ABF=∠DEC}\\{BF=EC}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△DEC（SAS），
∴AF=CD，∠AFB=∠DCE，
∴∠AFC=∠DGF，
∴AF∥DC，
∴四邊形AFDC是平行四邊形；

（2）解：當(dāng)t=1秒時(shí)，四邊形AFDC是菱形，
∵t=1，∴AE=3-1×1=2，
∴BE=AB-AE=4-2=2，
∵∠ACB=90°，∠CAB=30°，
∴BC=$\frac{1}{2}$AB=×4=2，
∴BC=BE，
∵∠CBA=60°，
∴△CBE是等邊三角形，
∴BC=CE，
∵四邊形CEFB是平行四邊形，
∴四邊形CEFB是菱形；

（3）解：能，如圖2，
當(dāng)t=3秒時(shí)，A，E重合，B，D重合，
∵∠CAB+∠BAF=90°，∠C=∠F=90°，
∴四邊形CEFB是矩形，
S_矩形CEFB=AC×BC=2$\sqrt{3}$×2=4$\sqrt{3}$（cm²）．

點(diǎn)評 此題綜合考查了菱形的判定以及平行四邊形的判定和矩形的判定以及矩形面積求法，利用Rt△ABC≌Rt△DEF，得出對應(yīng)線段以及對應(yīng)角的關(guān)系是解題關(guān)鍵．