Question

20．如圖，?ABCD中，DP⊥AB于P，且PD²=AP•PB，△BCD的面積和周長分別為24和24，求PD的長．

Answer 1

分析 將等積式PD²=AP•PB化為等比式$\frac{PD}{AP}$=$\frac{PB}{PD}$，得到△DAP∽△BDP，設AD=a，BD=b，AB=c，列出方程組$\left\{\begin{array}{l}ab=48\\ a+b+c=24\\{a}^{2}+^{2}{=c}^{2}\end{array}\right.$即可解答．

解答 解：∵PD²=AP•PB，
∴$\frac{PD}{AP}$=$\frac{PB}{PD}$，
又∵DP⊥AB于P，
∴∠DPA=∠DPB，
∴△DAP∽△BDP，
∴∠ADB=90°，
設AD=a，BD=b，AB=c，
由題意得，$\left\{\begin{array}{l}ab=48\\ a+b+c=24\\{a}^{2}+^{2}{=c}^{2}\end{array}\right.$，
解得，AB=c=10，
∵$\frac{1}{2}$DP•AB=$\frac{1}{2}$AD•DB=$\frac{1}{2}$×48=24，
∴PD=4.8．

點評 本題考查了相似三角形的判定與性質、平行四邊形的性質，找到△DAP∽△BDP并利用相似三角形的性質找到相等的直角是解題的關鍵．