Question

如圖，在△ABC中，AB=10cm，BC=8cm，AC=6cm．動點(diǎn)P從點(diǎn)A開始在線段AB上沿A→B→A的路徑以每秒2.5cm的速度運(yùn)動，同時動點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始在線段BC上以每秒1cm的速度向點(diǎn)C運(yùn)動，設(shè)點(diǎn)P，Q運(yùn)動的時間為t秒（0＜t＜8）．
（1）求證：∠C=90°；
（2）求當(dāng)BQ的長為何值時，以P，Q，B為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定,勾股定理的逆定理

專題：動點(diǎn)型

分析：（1）根據(jù)BC²+AC²=8²+6²=100=10²=AB²，得出△ABC是直角三角形進(jìn)而得出答案；
（2）分別根據(jù)當(dāng)0＜t≤4時，①當(dāng)PQ∥AC時，△PBQ∽△ABC，②當(dāng)PQ⊥AB時，△QBP∽△ABC；
當(dāng)4＜t＜8時，③當(dāng)PQ⊥AB時，△QBP∽△ABC．④當(dāng)PQ∥AC時，△PBQ∽△ABC，分別求出即可．

解答：（1）證明：在△ABC中，
∵BC²+AC²=8²+6²=100=10²=AB²，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠C=90°；

（2）解：（�。┊�(dāng)0＜t≤4時，BP=（10-2.5t） cm，BQ=t cm．
①如圖1，當(dāng)PQ∥AC時，△PBQ∽△ABC．
∴

BQ

BC

=

BP

AB

．
∴

t

8

=

10-2.5t

10

．
∴解得：t=

8

3

． 
②當(dāng)PQ⊥AB時，△QBP∽△ABC．
∴

BQ

AB

=

BP

BC

．
∴

t

10

=

10-2.5t

8

．
∴解得：t=

100

33

，即BQ=

100

33

． 
（ⅱ）當(dāng)4＜t＜8時，BP=（2.5t-10）cm，BQ=t cm．
③當(dāng)PQ⊥AB時，△QBP∽△ABC．
∴

BQ

AB

=

BP

BC

．
∴

t

10

=

2.5t-10

8

．
∴解得：t=

100

17

，即BQ=

100

17

．
④當(dāng)PQ∥AC時，△PBQ∽△ABC．
∴

BQ

BC

=

BP

AB

．
∴

t

8

=

2.5t-10

10

．解得t=8，即BQ=8．
此時，不符合題意舍去．
綜上，所求BQ的長為

8

3

，

100

33

，

100

17

．

點(diǎn)評：此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及分類討論思想的應(yīng)用，根據(jù)已知得出P，Q不同位置進(jìn)而得出相似三角形是解題關(guān)鍵．