Question

如圖，點C在以AB為直徑的半圓上，AB=8，∠CBA=30°，點D在線段AB上從點A運動到點B，點E與點D關于AC對稱，DF⊥DE于點D，并交EC的延長線于點F
（1）求證：CE=CF；
（2）求線段EF的最小值；
（3）當點D從點A運動到點B時，試求線段EF掃過的面積（直接寫出結(jié)果）．

Answer 1

考點：圓的綜合題

專題：

分析：（1）設ED交AC于點G，則點G為ED中點，可證得AC∥DF，得出C為EF中點；
（2）由（1）可知EF=2CD，當CD⊥AB是有最小值，可求得EF的最小值；
（3）當點D從點A運動到點B時，線段EF掃過的面積是△ABC面積的2倍，可求出結(jié)果．

解答：（1）證明：如圖1，設AC于點DE交于點G，則EG=DG，且ED⊥AC，

∵DF⊥DE，
∴∠EGC=∠EDF=90°，
∴AC∥DF，且G為ED中點，
∴EC=FC；

（2）解：由（1）知，EF=2CD，
∴當線段EF最小時，線段CD也最小，
根據(jù)垂直線段最短的性質(zhì)，當CD⊥AD時線段CD最小，
∵AB是半圓O 的直徑，
∴∠ACB=90°，
∵AB=8，∠CBA=30°，
∴AC=4，BC=4

3

，
當CD⊥AD時，CD=

1

2

BC=2

3

，
此時EF=2CD=4

3

，
即EF的最小值為4

3

；

（3）解：當點D從點A運動到點B時，如圖2，EF掃過的圖形就是圖中的陰影部分，線段EF掃過的面積是△ABC面積的2倍，

由（2）知AC=4，BC=4

3

，
∴S_△ABC=

1

2

•AC•BC=

1

2

×4×4

3

=8

3

，
∴線段EF掃過的面積是16

3

．

點評：本題主要考查圓周角定理及軸對稱的性質(zhì)、勾股定理等知識的綜合應用，在第（2）中把EF的值轉(zhuǎn)化成CD的值、在第（3）中確定出EF掃過的面積與△ABC的關系是解題的關鍵．