Question

10．如圖△ABC為直角三角形，∠ABC=90°，C是直線BM上一動點（不與B點重合），把線段AB繞A點逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AD，把線段AC繞C點順時針旋轉(zhuǎn)90°得到CE，連接AE、BD交于G點
（1）如圖1，記∠BAC=α，點C在直線BM上運動，指出α的位置以及α為多少度時，四點A、B、C、D圍成的四邊形為平行四邊形？
（2）如圖2，連CG，求證：CG⊥AE；
（3）點C運動到如圖3位置，當DG=$\sqrt{2}$，GE=2$\sqrt{2}$時，請直接寫出此時BC的為$\sqrt{7}$-1．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)已知條件推出△ABC是等腰直角三角形，得到AB=BC，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到AD=AB，∠BAD=90°，得到AD=BC，∠BAD=∠ABC=90°，推出AD∥BC，于是得到結(jié)論；
（2）由把線段AC繞C點順時針旋轉(zhuǎn)90°得到CE，得到△ACE是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到∠CAE=45°，推出A，C，B，G四點共圓，根據(jù)圓周角定理即可得到結(jié)論；
（3）由（2）知，CG⊥AE，得到AG=EG=CG=2$\sqrt{2}$，求得AC=4，過G作GH⊥于H，解直角三角形得到HG=HD=1，根據(jù)勾股定理得到AH=$\sqrt{A{G}^{2}-H{G}^{2}}$=$\sqrt{7}$，然后再根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）當α為45°時，四點A、B、C、D圍成的四邊形為平行四邊形，
∵∠ABC=90°，∠BAC=45°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=BC，
∵線段AB繞A點逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AD，
∴AD=AB，∠BAD=90°，
∴AD=BC，∠BAD=∠ABC=90°，
∴AD∥BC，
∴四邊形ABCD是平行四邊形；

（2）∵把線段AC繞C點順時針旋轉(zhuǎn)90°得到CE，
∴△ACE是等腰直角三角形，
∴∠CAE=45°，
∵∠ABD=45°，∠ABC=90°，
∴∠CAG+∠CBG=180°，
∴A，C，B，G四點共圓，
∴∠AGC=∠ABC=90°，
∴CG⊥AE；

（3）由（2）知，CG⊥AE，
∴AG=EG=CG=2$\sqrt{2}$，
∴AC=4，
過G作GH⊥于H，
∵∠D=45°，DG=$\sqrt{2}$，
∴HG=HD=1，
∴AH=$\sqrt{A{G}^{2}-H{G}^{2}}$=$\sqrt{7}$，
∴AB=AD=1+$\sqrt{7}$，
∴BC=$\sqrt{A{C}^{2}-A{B}^{2}}$=$\sqrt{7}$-1，
故答案為：$\sqrt{7}$-1．

點評 本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，四點共圓，圓周角定理，正確的理解題意是解題的關(guān)鍵．