Question

1．已知拋物線y₁=x²+bx+c的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，1），直線1的解析式為y₂=2mx+3m²+4nm+4n²，且l與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)．
（1）求b、c的值；
（2）若函數(shù)y₁+y₂的圖象與x軸始終有公共點(diǎn)，求直線l的解析式；
（3）點(diǎn)P是拋物線對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P，使△PAB為等腰角形？若存在，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）利用頂點(diǎn)坐標(biāo)公式，待定系數(shù)法列出方程組即可解決問(wèn)題．
（2）根據(jù)△≥0，以及非負(fù)數(shù)的性質(zhì)即可解決問(wèn)題．
（3）首先求出A、B坐標(biāo)，分三種情形討論即可①當(dāng)BA=BP時(shí)，②當(dāng)AB=AP時(shí)，③當(dāng)PA=PB時(shí)．

解答 解：（1）∵拋物線y₁=x²+bx+c的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，1），
∴$\left\{\begin{array}{l}{1=1-b+c}\\{-\frac{2}=-1}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=2}\end{array}\right.$，
∴b的值為2，c的值為2．

（2）y₁+y₂=x²+2x+2+2mx+3m²+4nm+4n²=x²+（2+2m）x+3m²+4nm+4n²+2，
∵函數(shù)y₁+y₂的圖象與x軸始終有公共點(diǎn)，
∴△=（2+2m）²-4×1×（3m²+4nm+4n²+2）≥0，即-4（m-1）²-4（m+2n）²≥0．
∵（m-1）²≥0，（m+2n）²≥0，
∴m=1，n=-$\frac{1}{2}$，
∴直線l的解析式為y=2x+2．

（3）如圖，A（-1，0），B（0，2）．AB=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，對(duì)稱軸x=-1，

①當(dāng)BA=BP時(shí)，可得P₁（-1，4），
②當(dāng)AB=AP時(shí)，可得P₂（-1，$\sqrt{5}$），P₃（-1，-$\sqrt{5}$），
③當(dāng)PA=PB時(shí)，可得P₄（-1，2）．
綜上所述，當(dāng)△PAB是等腰三角形時(shí)，點(diǎn)P坐標(biāo)為（-1，4）或（-1，$\sqrt{5}$）或（-1，-$\sqrt{5}$）或（-1，2）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)綜合題、待定系數(shù)法、頂點(diǎn)坐標(biāo)公式、拋物線與x軸交點(diǎn)問(wèn)題等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)分類討論，不能漏解，屬于中考常考題型．