Question

7．如圖，在直角梯形OABC中，已知B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為B（8，6）、C（10，0），動點(diǎn)M由原點(diǎn)O出發(fā)沿OB方向勻速運(yùn)動，速度為1單位/秒；同時，線段DE由BC出發(fā)沿BA方向勻速運(yùn)動，速度為1單位/秒，交OB于點(diǎn)N，連接DM，設(shè)運(yùn)動時間為t秒（0＜t＜8）
（1）當(dāng)t為何值時，DM∥OA？
（2）連接ME，在點(diǎn)M、N重合之前的運(yùn)動過程中，五邊形DMECB的面積是否發(fā)生變化？若不變，請求出它的值；若發(fā)生變化，請說明理由．
（3）當(dāng)t為何值時，△DMB為等腰三角形．

Answer 1

分析 （1）由DM∥OA，得$\frac{DB}{BA}$=$\frac{BM}{OB}$，列出方程即可解決問題．
（2）易求得OB=OC=10，即可知BM=OE=10-t，而BD=OM=t，且∠DBM=∠MOE，即可證得△BDM≌△OME，因此五邊形的面積可轉(zhuǎn)化為△OBC的面積，因此五邊形的面積是定值，以O(shè)C為底、OA為高，即可求得△OCB的面積，也就是這個定值的大�。�
（3）分三種情形①BD=BM，②DM=DB，③MD=BM討論即可．

解答 解：（1）在Rt△ABO中，∵OA=6，AB=8，
∴BO=$\sqrt{O{A}^{2}+A{B}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10．
∵DM∥OA，
∴$\frac{DB}{BA}$=$\frac{BM}{OB}$，
∴$\frac{t}{8}$=$\frac{10-t}{10}$，
∴t=$\frac{40}{9}$，
∴t=$\frac{40}{9}$秒時，DM∥OA．

（2）∵AB∥OC，
∴∠DBM=∠MOE
∵BD=OM=t，BM=EO=10-t，
∴在△BDM和△OME中，
$\left\{\begin{array}{l}{BD=OM}\\{∠DBM=∠MOE}\\{BM=OE}\end{array}\right.$
∴△BDM≌△OME；
從而五邊形MECBD的面積等于三角形OBC的面積，因此它是一個定值，
S_MECBD=S_△OCB=$\frac{1}{2}$×10×6=30．

（3）①當(dāng)BD=BM時，t=10-t，
解得t=5．
②當(dāng)DM=DB時，如圖3中，作DG⊥OB于G，
∵DM=DB，DG⊥BM，
∴MG=BG=$\frac{1}{2}$（10-t），
由cos∠DBG=$\frac{BG}{BD}=\frac{4}{5}$，
∴$\frac{\frac{1}{2}（10-t）}{t}$=$\frac{4}{5}$，
解得t=$\frac{50}{13}$．
③當(dāng)DM=BM時，如圖3中，作MG⊥BD于G．

則有cos∠MBG=$\frac{BG}{BM}$=$\frac{4}{5}$，
∴$\frac{\frac{1}{2}t}{10-t}$=$\frac{4}{5}$，
∴t=$\frac{80}{13}$，
綜上所述當(dāng)t=5或$\frac{50}{13}$或$\frac{80}{13}$秒時，△BDM是等腰三角形．

點(diǎn)評 此題考查直角梯形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、圖形面積的求法、等腰三角形的判定、平行線分線段成比例定理等知識，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用這些知識解決問題，學(xué)會分類討論，注意不能漏解，屬于中考壓軸題．