Question

5．如圖，二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a＞0）圖象的頂點(diǎn)為D，其圖象與x軸的交點(diǎn)A（-1，0）、B（3，0），與y軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C．
（1）若△ABD為等腰直角三角形，求此時(shí)拋物線的解析式；
（2）a為何值時(shí)△ABC為等腰三角形？
（3）在（1）的條件下，拋物線與直線y=$\frac{5}{4}$x-4交于M、N兩點(diǎn)（點(diǎn)M在點(diǎn)N的左側(cè)），動(dòng)點(diǎn)P從M點(diǎn)出發(fā)，先到達(dá)拋物線的對稱軸上的某點(diǎn)E，再到達(dá)x軸上的某點(diǎn)F，最后運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)N，若使點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的總路徑最短，求點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的總路徑的長．

Answer 1

分析 （1）由△ABD是等腰直角三角形確定出D（1，-2），用待定系數(shù)法確定出函數(shù)關(guān)系式；
（2）由△ABC為等腰三角形，利用勾股定理求出a即可；
（3）由于拋物線與直線y=$\frac{5}{4}$x-4交于M、N兩點(diǎn)，先求出M，N的坐標(biāo)，利用對稱性求出點(diǎn)G，H的坐標(biāo)即可．

解答 解：（1）如圖1，

∵△ABD是等腰直角三角形，
∴過點(diǎn)D作直線l∥y軸，直線l與x軸交于點(diǎn)I．
∴AI=ID=IB=$\frac{1}{2}$AB=2，
∴D（1，-2），
∴設(shè)y=a（x+1）（x-3）=ax²-2ax-3a，
∴a-2a-3a=-2，
∴a=$\frac{1}{2}$，
∴y=$\frac{1}{2}$x²-x-$\frac{3}{2}$，
（2）∵△ABC為等腰三角形，
∴①AB=BC=4，
∴OC=$\sqrt{C{B}^{2}-O{B}^{2}}$=$\sqrt{7}$，
∴-3a=-$\sqrt{7}$，
∴a=$\frac{\sqrt{7}}{3}$，
②AB=AC=4，
∴OC=$\sqrt{A{C}^{2}-O{A}^{2}}$=$\sqrt{15}$，
∴C（0，-$\sqrt{15}$），
∴-3a=-$\sqrt{15}$，
∴a=$\frac{\sqrt{15}}{3}$．
（3）如圖2，

∵拋物線與直線y=$\frac{5}{4}$x-4交于M、N兩點(diǎn)，
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}（x+1）（x-3）}\\{y=\frac{5}{4}x-4}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=2}\\{{y}_{1}=-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=\frac{5}{2}}\\{{y}_{2}=-\frac{7}{8}}\end{array}\right.$，
∴M（2，-$\frac{3}{2}$），N（$\frac{5}{2}$，-$\frac{7}{8}$）．
作點(diǎn)M關(guān)于對稱軸l的對稱點(diǎn)G，
點(diǎn)N關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)H，
連接GH交l于E，x軸于F，
∴EM=EG，F(xiàn)N=FH
∴點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的總路徑為GH，
∵G（0，-$\frac{3}{2}$），H（$\frac{5}{2}$，$\frac{7}{8}$），
∴GH=$\frac{\sqrt{761}}{8}$．

點(diǎn)評 此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求解析式，等腰三角形的性質(zhì)，對稱的特點(diǎn)．求圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)的方法，解本題的關(guān)鍵是確定出點(diǎn)的坐標(biāo)．