Question

1．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，∠B=60°，CD是⊙O的直徑，點P是CD延長線上的一點，且AP=AC．
（1）求證：PA是⊙O的切線；
（2）求證：AC²=CO•CP；
（3）若PD=$\sqrt{3}$，求⊙O的直徑．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)OA、AD，如圖，利用圓周角定理得到∠CAD=90°，∠ADC=∠B=60°，則∠ACD=30°，再利用AP=AC得到∠P=∠ACD=30°，接著根據(jù)圓周角定理得∠AOD=2∠ACD=60°，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可計算出∠OAP=90°，于是根據(jù)切線的判定定理可判斷AP與⊙O相切；
（2）通過△ACO∽△PCA，得到$\frac{AC}{CP}$=$\frac{OC}{AP}$，由于AC=AP于是得到結(jié)論；
（3）連接AD，證得△AOD是等邊三角形，得到∠OAD=60°，求得AD=PD=$\sqrt{3}$，得到OD=$\sqrt{3}$，即可得到結(jié)論．

解答 （1）證明：連結(jié)OA、AD，如圖，
∵CD為直徑，
∴∠CAD=90°，
∵∠ADC=∠B=60°，
∴∠ACD=30°，
∵AP=AC，
∴∠P=∠ACD=30°，
∵∠AOD=2∠ACD=60°，
∴∠OAP=180°-60°-30°=90°，
∴OA⊥PA，
∴AP與⊙O相切；

（2）證明：∵∠P=∠ACP=∠CAO=30°，
∴△ACO∽△PCA，
∴$\frac{AC}{CP}$=$\frac{OC}{AP}$，
∵AC=AP
∴AC²=CO．CP；

（3）解：連接AD，
∵AO=DO，∠ADC=60°，
∴△AOD是等邊三角形，
∴∠OAD=60°，
∴∠PAD=30°，
∴∠P=∠PAD，
∴AD=PD=$\sqrt{3}$，
∴OD=$\sqrt{3}$，
∴⊙O的直徑CD=2$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)和判定，等邊三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．