Question

7．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）與y軸交與點(diǎn)C（0，3），與x軸交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)B坐標(biāo)為（4，0），拋物線的對(duì)稱軸方程為x=1．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)M從A點(diǎn)出發(fā)，在線段AB上以每秒3個(gè)單位長度的速度向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)N從B點(diǎn)出發(fā)，在線段BC上以每秒1個(gè)單位長度的速度向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)△MBN的面積為S，點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，試求S與t的函數(shù)關(guān)系，并求S的最大值；
（3）在點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在某一時(shí)刻t，使△MBN為直角三角形？若存在，求出t值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）把點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別代入拋物線解析式，列出關(guān)于系數(shù)a、b、c的解析式，通過解方程組求得它們的值；
（2）設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．利用三角形的面積公式列出S_△MBN與t的函數(shù)關(guān)系式S_△MBN=-$\frac{9}{10}$（t-1）²+$\frac{9}{10}$．利用二次函數(shù)的圖象性質(zhì)進(jìn)行解答；
（3）根據(jù)余弦函數(shù)，可得關(guān)于t的方程，解方程，可得答案．

解答 解：（1）∵點(diǎn)B坐標(biāo)為（4，0），拋物線的對(duì)稱軸方程為x=1．
∴A（-2，0），
把點(diǎn)A（-2，0）、B（4，0）、點(diǎn)C（0，3），分別代入y=ax²+bx+c（a≠0），得
$\left\{\begin{array}{l}{4a-2b+3=0}\\{16a+4b+3=0}\end{array}\right.$，
解得 $\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{3}{8}}\\{b=\frac{3}{4}}\\{c=3}\end{array}\right.$，
所以該拋物線的解析式為：y=-$\frac{3}{8}$x²+$\frac{3}{4}$x+3；

（2）設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，則AM=3t，BN=t．
∴MB=6-3t．
由題意得，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3）．
在Rt△BOC中，BC=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5．
如圖1，過點(diǎn)N作NH⊥AB于點(diǎn)H．
∴NH∥CO，
∴△BHN∽△BOC，
∴$\frac{HN}{OC}=\frac{BN}{BC}$，即$\frac{HN}{3}$=$\frac{t}{5}$，
∴HN=$\frac{3}{5}$t．
∴S_△MBN=$\frac{1}{2}$MB•HN=$\frac{1}{2}$（6-3t）•$\frac{3}{5}$t=-$\frac{9}{10}$t²+$\frac{9}{5}$t=-$\frac{9}{10}$（t-1）²+$\frac{9}{10}$，
當(dāng)△PBQ存在時(shí)，0＜t＜2，
∴當(dāng)t=1時(shí)，
S_△PBQ最大=$\frac{9}{10}$．
答：運(yùn)動(dòng)1秒使△PBQ的面積最大，最大面積是$\frac{9}{10}$；

（3）如圖2，
在Rt△OBC中，cos∠B=$\frac{OB}{BC}$=$\frac{4}{5}$．
設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，則AM=3t，BN=t．
∴MB=6-3t．
當(dāng)∠MNB=90°時(shí)，cos∠B=$\frac{BN}{MB}$=$\frac{4}{5}$，即$\frac{t}{6-3t}$=$\frac{4}{5}$，
化簡(jiǎn)，得17t=24，解得t=$\frac{24}{17}$，
當(dāng)∠BMN=90°時(shí)，cos∠B=$\frac{6-3t}{t}$=$\frac{4}{5}$，
化簡(jiǎn)，得19t=30，解得t=$\frac{30}{19}$，
綜上所述：t=$\frac{24}{17}$或t=$\frac{30}{19}$時(shí)，△MBN為直角三角形．

點(diǎn)評(píng) 本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識(shí)點(diǎn)有待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式和三角形的面積求法．在求有關(guān)動(dòng)點(diǎn)問題時(shí)要注意該點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)范圍，即自變量的取值范圍．