Question

10．如圖，在△ABC中，∠A=60°，兩條角平分線BD，CE相交于點O，
（1）求∠BOC的度數(shù)；
（2）求證：OD=OE；
（3）求證：BC=BE+DC．

Answer 1

分析 （1）由三角形的內(nèi)角和定理與角平分線的性質(zhì)推理求解．
（2）作△ABC的外接圓，因為∠BAC=$\frac{1}{2}$∠BOC，所以點O為△ABC的外接圓的圓心，則OB=OC，由此證明△BEC≌△CDB即可．
（3）過點O作OF⊥BC于點F，只需證明BF=BE，CF=CD即可

解答 （1）解：∵BD、CE分別平分∠ABC與∠ACB，
∴∠ABO=∠OBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠ACO=∠OCB=$\frac{1}{2}$∠ACB，
又∵在△ABC中，∠A=60°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-60°=120°，
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）=180°-60°=120°
即：∠BOC的度數(shù)120°
（2）證明：作△ABC的外接圓，如下圖所示：

∵∠BAC=$\frac{1}{2}$∠BOC，
∴點O為△ABC的外接圓的圓心，
∴OB=OC，
∴∠EBC=∠DCB，
在△BEC與△CDB中，$\left\{\begin{array}{l}{∠OBC=∠OCB}\\{BC=CB}\\{∠EBC=∠DCB}\end{array}\right.$
∴△BEC≌△CDB（ASA）
∴CE=BD，
∴OD=OE
（3）證明：過點O作OF⊥BC于點F，如下圖所示：

由（2）知：∠EBC=∠DCB=60°，∠DBC=∠ECB=30°，
∴∠BEC=∠CDE=90°，
∴OE=OF=OD，
在Rt△OEB與Rt△OFB中，$\left\{\begin{array}{l}{OE=OF}\\{OB=OB}\end{array}\right.$
∴Rt△OEB≌Rt△OFB（HL）
∴BF=BE，同理可證，CF=CD，
∴BC=BF+CF=BE+DC

點評 本題考查了三角形全等的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)∠BAC=$\frac{1}{2}$∠BOC構(gòu)造一個外接于△ABC的⊙O