Question

1．觀察下列各個(gè)等式：
1³-0³=3•1²-3•1+1
2³-1³=3•2²-3•2+1
3³-2³=3•3²-3•3+1
4³-3³=3•4²-3•4+1
（1）你能從中推導(dǎo)出計(jì)算1²+2²+3²+4²+…+n²的公式嗎？請(qǐng)寫出推導(dǎo)過程；
（2）請(qǐng)你用（1）中推導(dǎo)出的公式來解決下列問題：
已知：如圖，拋物線y=-x²+2x+3與x、y軸的正半軸分別交于點(diǎn)A、B，將線段OAn等分，分點(diǎn)從左到右依次為A₁，A₂，A₃，A₄，A₅，A₆，…，A_n-1，分別過這n-1個(gè)點(diǎn)作x軸的垂線依次交拋物線于點(diǎn)B₁，B₂，B₃，B₄，B₅，B₆，…、B_n-1，設(shè)△OBA₁，△A₁B₁A₂，△A₂B₂A₃，△A₃B₃A₄，…，△A_n-1B_n-1A的面積依次為S₁，S₂，S₃，S₄，、…、S_n．
①當(dāng)n=2012時(shí)，求S₁+S₂+S₃+S₄+S₅+…+S₂₀₁₂的值；
②試探究：當(dāng)n取到無窮無盡時(shí)，題中所有三角形的面積和將是什么值？為什么？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)給定的等式，找出規(guī)律“n³-（n-1）³=3n²-3n+1”，將n個(gè)等式的左右兩邊分別相加，通過合并同類項(xiàng)、分解因式即可得出結(jié)論；
（2）由二次函數(shù)的解析式找出點(diǎn)A、點(diǎn)B的坐標(biāo)，再根據(jù)線段OA的n等分的特點(diǎn)找出各A_k的橫坐標(biāo)、B_k的縱坐標(biāo)（k為小于n的正整數(shù)），結(jié)合三角形的面積公式找出S_n的通式，將其相加整理即可得出“S₁+S₂+…+S_n=$\frac{9（2{n}^{2}+n-1）}{4{n}^{2}}$”，利用該等式即可解決①②兩問．

解答 解：（1）觀察，發(fā)現(xiàn)規(guī)律：1³-0³=3-3+1，2³-1³=3×2²-3×2+1，3³-2³=3×3²-3×3+1，…，
∴n³-（n-1）³=3n²-3n+1．
將這n個(gè)等式的左右兩邊分別相加得：n³=3×（1²+2²+3²+…+n²）-3×（1+2+3+…+n）+n，
即1²+2²+3²+4²+…+n²=$\frac{{n}^{3}+3（1+2+3+…+n）-n}{3}$=$\frac{n（n+1）（2n+1）}{6}$．
（2）∵拋物線y=-x²+2x+3=-（x+1）（x-3），
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，3），點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，0）．
∴點(diǎn)A₁、A₂、A₃、A₄、A₅、A₆、…、A_n-1的橫坐標(biāo)分別為$\frac{3}{n}、\frac{6}{n}、\frac{9}{n}、…、\frac{3（n-1）}{n}$，
點(diǎn)B₁、B₂、B₃、B₄、B₅、B₆、…、B_n-1的縱坐標(biāo)分別為$-{（\frac{3}{n}）^2}+2（\frac{3}{n}）+3、-{（\frac{6}{n}）^2}+2（\frac{6}{n}）+3、…、-{[\frac{3（n-1）}{n}]^2}+2×\frac{3（n-1）}{n}+3$，
∴${S_1}=\frac{9}{2n}，{S_2}=\frac{{9（{n^2}+2n-3）}}{{2{n^3}}}，{S_3}=\frac{{9（{n^2}+4n-12）}}{{2{n^3}}}，…，{S_n}=\frac{{9[{n^2}+2（{n^2}-n）-3{{（n-1）}^2}]}}{{2{n^3}}}$，
∴${S_1}+{S_2}+{S_3}+…+{S_n}=\frac{{9\{{n^3}+2n（1+2+3+…+n-1）-3[{1^2}+{2^2}+{3^2}+…+{{（n-1）}^2}]\}}}{{2{n^3}}}$=$\frac{9[{n}^{3}+2n×\frac{n（n+1）}{2}-3×\frac{n（n-1）（2n-1）}{6}]}{2{n}^{3}}$=$\frac{9（2{n}^{2}+n-1）}{4{n}^{2}}$．
①當(dāng)n=2012時(shí)，S₁+S₂+S₃+S₄+S₅+…+S₂₀₁₂=$\frac{72884691}{16192576}$；
②∵${S_1}+{S_2}+{S_3}+…+{S_n}=\frac{{9（2{n^2}+n-1）}}{{4{n^2}}}=\frac{9}{2}+\frac{9}{4n}-\frac{9}{{4{n^2}}}$
∴當(dāng)n取到無窮無盡時(shí)，上式的值等于$\frac{9}{2}$，即所有三角形的面積和等于$\frac{9}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了規(guī)律型中的數(shù)的變化、三角形的面積公式以及分式的化簡求值，解題的關(guān)鍵是：（1）找出規(guī)律“n³-（n-1）³=3n²-3n+1”；（2）根據(jù)數(shù)據(jù)的變化找出“S₁+S₂+…+S_n=$\frac{9（2{n}^{2}+n-1）}{4{n}^{2}}$”．本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，根據(jù)數(shù)據(jù)的變化找出數(shù)據(jù)的變化規(guī)律是關(guān)鍵．