Question

9．已知△ABC中，AC=6cm，BC=8cm，AB=10cm，CD為AB邊上的高．動點P從點A出發(fā)，沿著△ABC的三條邊逆時針走一圈回到A點，速度為2cm/s，設(shè)運動時間為ts．
（1）求CD的長；
（2）t為何值時，△ACP為等腰三角形？
（3）若M為BC上一動點，N為AB上一動點，是否存在M，N使得AM+MN的值最�。咳绻�有請求出最小值，如果沒有請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)勾股定理的逆定理得到∠ACB=90°，然后由三角形的面積公式得到等積式，即可得到結(jié)果；
（2）①當點P在BC上時，求得t=$\frac{12}{2}$=6s，②當點P在AB上時，分三種情況：當AC=AP時，即10-（2t-6-8）=6，求得t=9，當AC=CP=6時，即$\frac{1}{2}$[10-（2t-6-8）]=$\sqrt{{6}^{2}-（\frac{24}{5}）^{2}}$，求得t=8.4，當AP=CP=10-（2t-6-8）時，即10-（2t-6-8）=5，求得t=9.5，
（3）如圖作點A關(guān)于BC的對稱點A′，過A′作A′N⊥AB于N，交BC于M，′則A′N就是AM+MN的最小值，根據(jù)三角形的中位線即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）∵AC=6cm，BC=8cm，AB=10cm，
∴AC²+BC²=AB²，
∴∠ACB=90°，
∵CD為AB邊上的高，
∴AC•BC=AB•CD，
∴CD=4.8cm；

（2）①當點P在BC上時，
∵∠ACB=90°，
若△ACP為等腰三角形，只有AC=PC=6，
∴t=$\frac{12}{2}$=6s，
②當點P在AB上時，
∵△ACP為等腰三角形，
∴分三種情況：當AC=AP時，即10-（2t-6-8）=6，解得：t=9，
當AC=CP=6時，即$\frac{1}{2}$[10-（2t-6-8）]=$\sqrt{{6}^{2}-（\frac{24}{5}）^{2}}$，解得：t=8.4，
當AP=CP=10-（2t-6-8）時，即10-（2t-6-8）=5，解得：t=9.5，
綜上所述：t為6，8.4，9，9.5時，△ACP為等腰三角形；

（3）如圖作點A關(guān)于BC的對稱點A′，過A′作A′N⊥AB于N，交BC于M，′
則A′N就是AM+MN的最小值，
∵CD⊥AB，
∴CD∥A′N，
∵AC=CA′，
∴AD=DN，
∴A′N=2CD=9.6，
即AM+MN的最小值=9.6．

點評 本題考查了軸對稱-最短路線問題，勾股定理的逆定理，三角形的中位線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，正確的作出圖形是解題的關(guān)鍵．