Question

7．先閱讀理解下面的例題．再按要求解答下列問題：
例題：解一元二次不等式x²-4＞0．
解：∵x²-4=（x+2）（x-2），
∴x²-4＞0可化為（x+2）（x-2）＞0．
由有理數(shù)的乘法法則“兩數(shù)相乘，同號得正”，得①$\left\{\begin{array}{l}{x+2＞0}\\{x-2＞0}\end{array}\right.$，②$\left\{\begin{array}{l}{x+2＜0}\\{x-2＜0}\end{array}\right.$解不等式組①，得x＞2，解不等式組②，得x＜-2．
∴x²-4＞0的解集為x＞2或x＜-2，
即一元二次不等式x²-4＞0的解集為x＞2或x＜-2
（1）一元二次不等式x²-16＞0的解集為x＞4或x＜-4；
（2）分式不等式$\frac{x-1}{x-3}$＞0的解集為x＞3或x＜1；
（3）解一元二次不等式2x²-3x＜0；
（4）求使代數(shù)式$\sqrt{{x}^{2}-1}$有意義的x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）將一元二次不等式的左邊因式分解后化為兩個一元一次不等式組求解即可；
（2）根據(jù)分式不等式大于零可以得到其分子、分母同號，從而轉(zhuǎn)化為兩個一元一次不等式組求解即可；
（3）將一元二次不等式的左邊因式分解后化為兩個一元一次不等式組求解即可；
（4）由題意得出x²-1＞0將一元二次不等式的左邊因式分解后化為兩個一元一次不等式組求解即可．

解答 解：（1）∵x²-16=（x+4）（x-4）
∴x²-16＞0可化為
（x+4）（x-4）＞0
由有理數(shù)的乘法法則“兩數(shù)相乘，同號得正”，得
$\left\{\begin{array}{l}{x+4＞0}\\{x-4＞0}\end{array}\right.$①，
$\left\{\begin{array}{l}{x+4＜0}\\{x-4＜0}\end{array}\right.$②，
解不等式組①，得x＞4，
解不等式組②，得x＜-4，
∴（x+4）（x-4）＞0的解集為x＞4或x＜-4，
即一元二次不等式x²-16＞0的解集為x＞4或x＜-4．

（2）∵$\frac{x-1}{x-3}$＞0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x-1＞0}\\{x-3＞0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x-1＜0}\\{x-3＜0}\end{array}\right.$，
解得：x＞3或x＜1

（3）∵2x²-3x=x（2x-3）
∴2x²-3x＜0可化為
x（2x-3）＜0
由有理數(shù)的乘法法則“兩數(shù)相乘，異號得負”，得
$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{2x-3＜0}\end{array}\right.$①或$\left\{\begin{array}{l}{x＜0}\\{2x-3＞0}\end{array}\right.$②，
解不等式組①，得0＜x＜$\frac{3}{2}$，
解不等式組②，無解，
∴不等式2x²-3x＜0的解集為0＜x＜$\frac{3}{2}$；

（4）由題意得x²-1＞0，
（x+1）（x-1）＞0，
$\left\{\begin{array}{l}{x+1＞0}\\{x-1＞0}\end{array}\right.$①，$\left\{\begin{array}{l}{x+1＜0}\\{x-1＜0}\end{array}\right.$②，
解不等式組①，得x＞1，
解不等式組②，得x＜-1，
即x的取值范圍為x＞1或x＜-1．

點評 本題考查了一元一次不等式組及方程的應(yīng)用的知識，解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知信息經(jīng)過加工得到解決此類問題的方法．