Question

已知：△ABC內(nèi)接于⊙O，AB=AC，D是

BC

一點(diǎn)，E是DB延長線上一點(diǎn)，AE=AD．
（1）如圖1，求證：BE=CD；
（2）如圖2，若AB=2，∠BAC=90°，

BD

=

1

2

CD

，求陰影部分的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：圓周角定理,全等三角形的判定與性質(zhì),扇形面積的計(jì)算

專題：證明題

分析：（1）通過證明△ABE≌△ACD得到BE=CD；
（2）連結(jié)OA、CD，作BH⊥AE于H，如圖，先求出∠E=45°，∠EAD=90°，∠EAB=60°，在Rt△HAB中利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系計(jì)算出AH=

1

2

AB=1，BH=

3

AH=

3

，在Rt△BHE中得到EH=BH=

3

，
則可計(jì)算出S_△ABE=

3 +3

2

，接著計(jì)算出S_弓形AB=S_扇形AOB-S_△AOB=

1

2

π-1，然后用△ABE的面積減去弓形AB的面積即可得到陰影部分的面積．

解答：（1）證明：∵AE=AD，
∴∠E=∠ADE，
∵AB=AC，
∴∠ADE=∠ADC，
∴∠E=∠ADC，
∵∠ABE為圓內(nèi)接四邊形ABDC的外角，
∴∠ABE=∠ACD，
在△ABE和△ACD中，

∠ABE=∠ACD ∠E=ADC AE=AD

，
△ABE≌△ACD，
∴BE=CD；
（2）連結(jié)OA、CD，作BH⊥AE于H，如圖，
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴BC為直徑，∠ABC=∠ACB=45°，
∴∠BDC=90°，
∵

BD

=

1

2

CD

，
∴∠DBC=2∠BCD，
∴∠DBC=60°，∠BCD=30°，
∴∠BAD=∠BCD=30°，
∵∠ADE=∠ACB=45°，
∵AE=AD，
∴∠E=45°，∠EAD=90°，
∴∠EAB=60°，
在Rt△HAB中，∵∠HAD=60°，
∴AH=

1

2

AB=1，BH=

3

AH=

3

，
在Rt△BHE中，∵∠E=45°，
∴EH=BH=

3

，
∴S_△ABE=

1

2

×

3

×（1+

3

）=

3 +3

2

，
∵∠AOB=2∠ACB=90°，
∴△AOB為等腰直角三角形，
∴OA=

2

2

AB=

2

，
∵S_弓形AB=S_扇形AOB-S_△AOB=

90•π•( 2 )2

360

-

1

2

×

2

×

2

=

1

2

π-1，
∴陰影部分的面積=

3 +3

2

-（

1

2

π-1）=

3 -π+5

2

．

點(diǎn)評：本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．推論：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑．也考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、扇形的面積公式．