Question

如圖，在矩形ABCD中，E、F分別是邊AB，CD上的點，AE=CF，連接EF，BF，EF與對角線AC交于點O，且BE=BF，∠BEF=2∠BAC．
（1）求證：△OAE≌△OCF；
（2）求證：FC=OF；
（3）若BC=2

3

，求AC的長．

Answer 1

考點：矩形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),直角三角形斜邊上的中線

專題：

分析：（1）欲證明△OAE≌△OCF，只要證明∠BAC=∠FCO，然后運用AAS公理即可解決問題．
（2）欲證明OF=CF，只要證明∠FOC=∠FCO；而∠BAC=∠FCO，∠AOE=∠FOC，故只需證明∠EAC=∠AOE即可解決問題．
（3）如圖，作輔助線；首先證明AO=BO，EF⊥BO；進而證明2∠BAC+∠BAC=90°，得到∠BAC=30°，運用直角三角形的性質(zhì)即可解決問題．

解答：（1）證明：∵ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠BAC=∠FCO，
在△AOE和△COF中，

∠BAC=∠FCO ∠AOE=∠FOC AE=FC

，
∴△OAE≌△OCF（AAS），
（2）證明：∵∠BEF=2∠BAC，
且∠BEF=∠BAC+∠AOE，
∴∠BAC=∠AOE；
而∠BAC=∠FCO，∠AOE=∠FOC，
∴∠FCO=∠FOC，
∴FC=OF．
（2）解：如圖，連接OB，
∵△OAE≌△OCF，
∴AO=CO，OE=OF；
∵BE=BF，OE=OF，
∴BO⊥EF，
∴∠BEF+∠ABO=90°，
∵∠ABC=90°，AO=CO，
∴AO=BO=

1

2

AC
∴∠BAC=∠ABO，
又∵∠BEF=2∠BAC，
即2∠BAC+∠BAC=90°，
解得∠BAC=30°，
∵BC=3，
∴AC=2BC=6．

點評：本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半，綜合題，但難度不大；（2）作輔助線并求出∠BAC=30°是解題的關(guān)鍵．