Question

3．在△ABC中，D是BC的中點，E是AD的中點，過點A作AF∥BC交BE的延長線于點F．
（1）求證：△AEF≌△DEB；
（2）當△ABC滿足什么條件時，四邊形ADCF是菱形，并證明．

Answer 1

分析 （1）根據線段中點的定義可得AE=DE，根據兩直線平行，內錯角相等可得∠EAF=∠EDB，然后利用“角邊角”證明△AEF和△DEB全等；
（2）根據全等三角形對應邊相等可得AF=BD，根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求出AD=BD=CD，再根據一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形求出四邊形ADCF是平行四邊形，然后根據鄰邊相等的平行四邊形是菱形證明即可．

解答 （1）證明：∵E是AD的中點，
∴AE=DE，
∵AF∥BC，
∴∠EAF=∠EDB，
在△AEF和△DEB中，$\left\{\begin{array}{l}{∠EAF=∠EDB}\\{AE=DE}\\{∠AEF=∠DEB}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△DEB（ASA）；

（2）解：△ABC是直角三角形時，四邊形ADCF是菱形．
理由如下：∵△AEF≌△DEB，
∴AF=BD，
∵△ABC是直角三角形，D是BC的中點，
∴AD=BD=CD，
∴AF=CD，
∵AF∥BC，
∴四邊形ADCF是平行四邊形，
又∵AD=CD，
∴四邊形ADCF是菱形．

點評 本題考查了菱形的判定，全等三角形的判定與性質，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質，熟練掌握三角形全等的判定以及菱形的判定方法是解題的關鍵．