Question

4．如圖，一塊矩形場地ABCD，現(xiàn)測得邊長AB與AD之比為$\sqrt{2}$：1，DE⊥AC于點(diǎn)E，BF⊥AC于點(diǎn)F，連接BE，DF．現(xiàn)計(jì)劃在四邊形DEBF區(qū)域內(nèi)種植花草．
（1）求證：AE=EF=CF．
（2）求四邊形DEBF與矩形ABCD的面積之比．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意可設(shè)AD=x，則AB=$\sqrt{2}$x，AC=$\sqrt{3}$x，利用△ADC的面積為定值可求DE的長，再根據(jù)勾股定理可求出AE，EF，CF的長，即可證明AE=EF=CF．
（2）由（1）中的數(shù)據(jù)分別計(jì)算出四邊形DEBF與矩形ABCD的面積，再作比值即可．

解答 （1）證明：
矩形ABCD中，∠ADC=90°，設(shè)AD=x，則AB=$\sqrt{2}$x，AC=$\sqrt{3}$x，
∵DE⊥AC于點(diǎn)E，
∴DE=$\frac{x•\sqrt{2}x}{\sqrt{3}x}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$x，
在△ADE中，AE=$\sqrt{{x}^{2}-（\frac{\sqrt{6}}{3}x）^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，同理CF=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，EF=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，
∴AE=CF=EF；
（2）解：
S_{四邊形DEBF}=EF×DE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x•$\frac{\sqrt{6}}{3}$x=$\frac{\sqrt{2}}{3}$x²，
而S_矩形ABCD=x×$\sqrt{2}$x=$\sqrt{2}$x²，
∴四邊形DEBF與矩形ABCD的面積之比為1：3．

點(diǎn)評 本題考查了矩形的性質(zhì)、勾股定理的運(yùn)用以及四邊形面積公式和矩形面積公式的運(yùn)用，題目的綜合性較強(qiáng)，計(jì)算量較大，是一道不錯(cuò)的中考題．