Question

11．探究1：如圖1，直線PT和⊙O相切于點P，Q點是⊙O上任意一點，試探究∠TPQ和∠POQ的大小關(guān)系（寫出推理過程）．
探究2：如圖2，已知正方形ABCD，點E是邊AB的中點，點O是線段AE上的一個動點（不與A、E重合），以O(shè)為圓心，OB為半徑的圓與邊AD相交于點M，過點M作⊙O的切線交DC于點N，連接OM、ON、BM、BN，請?zhí)骄縈N、AM、CN的數(shù)量關(guān)系（寫出推理過程）．

Answer 1

分析 探究1：如圖1，作直徑PH，連結(jié)HQ，根據(jù)圓周角定理得到∠PQH=90°，則∠HPQ+∠H=90°，再根據(jù)切線的性質(zhì)得∠HPT+∠QPT=90°，則∠H=∠QPT，由三角形外角性質(zhì)得∠POQ=∠H+∠OQO=2∠H，于是有∠TPQ=$\frac{1}{2}$∠POQ；
探究2：如圖2，作BP⊥MN于N，利用探究1的結(jié)論得到∠CBM=$\frac{1}{2}$BOM，∠PMB=$\frac{1}{2}$∠BOM，則∠CBM=∠PMB，再利用AD∥BC得到∠CBM=∠AMB，所以∠AMB=∠PMB，接著利用“AAS”證明△BMA≌△BMP得到AM=PM，BA=BP，由于AB=BC，則BP=BC，然后根據(jù)“HL”證明Rt△BNP≌Rt△BNC得到PN=PC，則MN=PM+PN=AM+CN．

解答 解：探究1：如圖1，∠TPQ=$\frac{1}{2}$∠POQ．理由如下：
作直徑PH，連結(jié)HQ，
∵PH為直徑，
∴∠PQH=90°，
∴∠HPQ+∠H=90°，
∵直線PT和⊙O相切于點P，
∴HP⊥PT，
∴∠HPT+∠QPT=90°，
∴∠H=∠QPT，
∵OP=OQ，
∴∠H=∠OQH，
∴∠POQ=∠H+∠OQO=2∠H，
∴∠TPQ=$\frac{1}{2}$∠POQ；
（2）探究2：MN=AM+CN．理由如下：
如圖2，作BP⊥MN于N，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴∠OBC=90°，
∴BC為⊙O的切線，
∴∠CBM=$\frac{1}{2}$BOM，
∵MN為⊙O的切線，
∴∠PMB=$\frac{1}{2}$∠BOM，
∴∠CBM=∠PMB，
∵AD∥BC，
∴∠CBM=∠AMB，
∴∠AMB=∠PMB，
在△BMA和△BMP中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAM=∠BPM}\\{∠BMA=∠BMP}\\{BM=BM}\end{array}\right.$，
∴△BMA≌△BMP（AAS），
∴AM=PM，BA=BP，
∵AB=BC，
∴BP=BC，
在Rt△BNP和Rt△BNC中，
$\left\{\begin{array}{l}{BP=BC}\\{BN=BN}\end{array}\right.$，
∴Rt△BNP≌Rt△BNC（HL），
∴PN=PC，
∴MN=PM+PN=AM+CN．

點評 本題考查了圓的綜合題：熟練掌握圓周角定理、切線的判定與性質(zhì)和正方形的性質(zhì)；會利用三角形全等解決線段相等的問題；利用探究1的結(jié)論是解決探究2的關(guān)鍵．