Question

12．觀察下列等式：
第1個等式：a₁=$\frac{1}{1+\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$-1，
第2個等式：a₂=$\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}$=$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$，
第3個等式：a₃=$\frac{1}{\sqrt{3}+2}$=2-$\sqrt{3}$，
第4個等式：a₄=$\frac{1}{2+\sqrt{5}}$=$\sqrt{5}$-2，
按上述規(guī)律，回答以下問題：
（1）請寫出第n個等式：a_n=$\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}$=$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$；；
（2）a₁+a₂+a₃+…+a_n=$\sqrt{n+1}$-1．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意可知，a₁=$\frac{1}{1+\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$-1，a₂=$\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}$=$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$，a₃=$\frac{1}{\sqrt{3}+2}$=2-$\sqrt{3}$，a₄=$\frac{1}{2+\sqrt{5}}$=$\sqrt{5}$-2，…由此得出第n個等式：a_n=$\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}$=$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$；
（2）將每一個等式化簡即可求得答案．

解答 解：（1）∵第1個等式：a₁=$\frac{1}{1+\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$-1，
第2個等式：a₂=$\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}$=$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$，
第3個等式：a₃=$\frac{1}{\sqrt{3}+2}$=2-$\sqrt{3}$，
第4個等式：a₄=$\frac{1}{2+\sqrt{5}}$=$\sqrt{5}$-2，
∴第n個等式：a_n=$\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}$=$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$；
（2）a₁+a₂+a₃+…+a_n
=（$\sqrt{2}$-1）+（$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$）+（2-$\sqrt{3}$）+（$\sqrt{5}$-2）+…+（$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$）
=$\sqrt{n+1}$-1．
故答案為$\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}$=$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$；$\sqrt{n+1}$-1．

點評 此題考查數(shù)字的變化規(guī)律以及分母有理化，要求學生首先分析題意，找到規(guī)律，并進行推導得出答案．