Question

2．如圖，OA，OD是⊙O半徑，過A作⊙O的切線，交∠AOD的平分線于點C，連接CD，延長AO交⊙O于點E，交CD的延長線于點B
（1）求證：直線CD是⊙O的切線；
（2）如果D點是BC的中點，⊙O的半徑為3cm，求$\widehat{DE}$的長度（結(jié)果保留π）

Answer 1

分析 （1）欲證明直線CD是⊙O的切線，只要證明∠ODC=90°即可．
（2）先證明∠B=∠OCB=∠ACO，推出∠B=30°，∠DOE=60°，利用弧長公式即可解決問題．

解答 （1）證明：∵AC是⊙O切線，
∴OA⊥AC，
∴∠OAC=90°，
∵CO平分∠AOD，
∴∠AOC=∠COD，
在△AOC和△DOC中，
$\left\{\begin{array}{l}{OC=OC}\\{∠COA=∠COD}\\{OA=OD}\end{array}\right.$，
∴△AOC≌△DOC，
∴∠ODC=∠OAC=90°，
∴OD⊥CD，
∴直線CD是⊙O的切線．
（2）∵OD⊥BC，DC=DB，
∴OC=OB，
∴∠OCD=∠B=∠ACO，
∵∠B+∠ACB=90°，
∴∠B=30°，∠DOE=60°，
∴$\widehat{DE}$的長=$\frac{60π•3}{180}$=π．

點評 本題考查切線的判定和性質(zhì)、弧長公式、線段的垂直平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，屬于中考�？碱}型；解題的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)全等三角形，證明∠B=30°．