Question

等腰△ABO中，AO=AB，點A在x軸負軸上，點B在第二象限，C為y軸正半軸上的一動點，以AC為邊在AC的上側(cè)作等腰△ACD，AC=AD，且∠CAD=∠BAO直線BD交坐標抽于E、F兩點．

（1）求證：DB⊥AB；
（2）若AO=1，∠BAO=60°，求點F的坐標；
（3）在（2）的條件下，M為射線EF上一動點，以O(shè)M為邊向下作等邊△OMN，點P為△OMN的內(nèi)角平分線的交點，點P是否恒在∠OEF的平分線上？若恒在，請證明；否則，請說明理由．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),坐標與圖形性質(zhì),角平分線的性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)∠CAD=∠BAO可得∠BAD=∠OAC，再根據(jù)AC=AD，AB=AO，可以求證△ABD≌△AOC，即可求證DB⊥AB；
（2）若AO=1，則AB=1，由∠BAO=60°，DB⊥AB可得∠AFB=30°，即可得AF=2AB，即可求得F點的坐標；
（3）連接OP、PM，過P作PT⊥EF于T，PQ⊥EO于Q，求出OP=OM，∠OPQ=∠TPM，證出△OPQ≌△MPT，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)推出PT=PQ即可．

解答：（1）證明：∵∠CAD=∠BAO，
∴∠CAD-∠BAC=∠BAO-∠BAC，
∴∠DAB=∠CAO，
在△ABD和△AOC中，

AD=AC ∠DAB=∠CAO AB=AO

，
∴△ABD≌△AOC，
∴∠ABD=∠AOC=90°，
∴DB⊥AB；

（2）解：∵DB⊥AB，
∴∠ABF=90°，
∵∠BAO=60°，
∴∠BFA=30°，
∵AB=AO=1，
∴AF=2AB=2，OF=2-1=1，
∴F的坐標是（1，0）；

（3）解：P在∠OEF的平分線上
理由是：如圖2，連接OP、PM，過P作PT⊥EF于T，PQ⊥EO于Q，
則∠PQE=∠PTE=90°，∠PQO=∠PTM=90°，
∵∠EOF=90°，∠EFA=30°，
∴∠OEF=60°，
∴∠QPT=360°-90°-90°-60°=120°，
∵P是等邊三角形OMN的角平分線交點，
∴∠POM=∠PMO=30°，
∴OP=PM，∠OPM=180°-30°-30°=120°，
∴∠QOT=∠OPM，
∴都減去∠OPT得：∠OPQ=∠TPM，
在△OPQ和△MPT中，

∠OPQ=∠TPM ∠PQO=∠PTM OP=PM

，
∴△OPQ≌△MPT（AAS），
∴PT=PQ，
∵PT⊥EF，PQ⊥EO，
∴P在∠OEF的平分線上．

點評：本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，等邊三角形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，角平分線性質(zhì)的應(yīng)用，注意：全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等，題目綜合性比較強，難度偏大．