Question

9．如圖，△ABC中，點(diǎn)D在BC上，連結(jié)AD．
（1）請你添加一個(gè)條件，使得△DCA與△ACB相似；
（2）在（1）的條件下，求證：$\frac{A{D}^{2}}{A{B}^{2}}$=$\frac{DC}{BC}$．
（要求：用兩種方法加以證明）

Answer 1

分析 （1）利用兩角對應(yīng)相等的兩三角形相似即可；
（2）方法一：利用相似三角形得出的比例式代換即可得出面積；
方法二：利用同高的兩三角形面積的比等于底的比和相似三角形的面積比是相似比的平方這一性質(zhì)即可．

解答 解：（1）添加的條件為∠B=∠CAD，
理由：∵∠B=∠CAD，∠C=∠C
∴△DCA∽△ACB，
（2）方法一：由（1）知，△DCA∽△ACB，
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{CD}{AC}=\frac{AC}{BC}$，
∴$\frac{A{D}^{2}}{A{B}^{2}}$=$\frac{AD}{AB}×\frac{AD}{AB}$=$\frac{CD}{AC}×\frac{AC}{BC}$=$\frac{CD}{BC}$，
方法二：如圖，
過點(diǎn)A作AE⊥BC，
由（1）知，△DCA∽△ACB，
∴$\frac{{S}_{△ACD}}{{S}_{△BCA}}=（\frac{AD}{AB}）^{2}=\frac{A{D}^{2}}{A{B}^{2}}$，
∵S_△ACD=$\frac{1}{2}$CD×AE，
S_△BCA=$\frac{1}{2}$BC×AE，
∴$\frac{{S}_{△ACD}}{{S}_{△BCA}}=\frac{\frac{1}{2}CD×AE}{\frac{1}{2}BC×AE}=\frac{CD}{BC}$，
∴$\frac{A{D}^{2}}{A{B}^{2}}$=$\frac{DC}{BC}$．

點(diǎn)評 此題是相似三角形的性質(zhì)和判定，主要考查了三角形的面積的計(jì)算方法，同高的兩三角形的面積比等于底的比，解本題的關(guān)鍵是添加出條件．