Question

16．如圖，點B（2，2）在雙曲線y=$\frac{k}{x}$（x＞0）上，點D在雙曲線y=-$\frac{3}{x}$（x＜0）上，點A、C分別在x軸、y軸的正半軸上，且點A，B，C，D構成的四邊形為正方形．
（1）求k的值；
（2）求點A的坐標．

Answer 1

分析 （1）把B的坐標代入求出即可；
（2）設MD=a，OM=b，求出ab=3，過D作DM⊥x軸于M，過B作BN⊥x軸于N，證△ADM≌△BAN，推出BN=AM=2，MD=AN=a，求出a=b，求出a的值即可．

解答 解：（1）∵B（2，2）在雙曲線y=$\frac{k}{x}$上，
∴k=2×2=4；

（2）如圖，過D作DM⊥x軸于M，過B作BN⊥x軸于N，
∵B（2，2），
∴BN=ON=2，
設MD=a，OM=b，
∵D在雙曲線y=-$\frac{3}{x}$（x＜0）上，
∴ab=3，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠DAB=90°，AD=AB，
∴∠MDA+∠DAM=90°，∠DAM+∠BAN=90°，
∴∠ADM=∠BAN，
在△ADM和△BAN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠MDA=∠NAB}\\{∠DMA=∠ANB}\\{AD=BA}\end{array}\right.$，
∴△ADM≌△BAN（AAS），
∴BN=AM=2，DM=AN=a，
∴0A=2-a，
即AM=b+2-a=2，
a=b，
∵ab=3，
∴a=b=$\sqrt{3}$，
∴OA=2-$\sqrt{3}$，
即點A的坐標是（2-$\sqrt{3}$，0）．

點評 本題考查了正方形的性質(zhì)，反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，全等三角形的性質(zhì)和判定的應用，作出輔助線構建全等三角形是本題的關鍵．