Question

14．如圖，△ABC和△CDE都是等邊三角形，P是線段AD的中點，Q是線段BE的中點．
（1）求證：AD=BE；
（2）求證：△CPQ為等邊三角形．

Answer 1

分析 （1）由等邊三角形的性質(zhì)得出AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，得出∠ACD=∠BCE，由SAS證明△ACD≌△BCE，得出對應邊相等即可；
（2）由△ACD≌△BCE，得出∠ADC=∠BEC，AD=BE，證出PD=QE，再由SAS證明△CDP≌△CEQ，得出CP=CQ，∠PCD=∠QCE，然后證出∠PCQ=60°，即可得出結(jié)論．

解答 （1）證明：∵△ABC、△CDE都是等邊三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}&{\;}\\{∠ACD=∠BCE}&{\;}\\{CD=CE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE；
（2）證明：∵△ACD≌△BCE，
∴∠ADC=∠BEC，AD=BE，
又∵點P、Q分別是線段AD、BE的中點，
∴PD=$\frac{1}{2}$AD，QE=$\frac{1}{2}$BE，
∴PD=QE，
在△CDP和△CEQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{CD=CE}&{\;}\\{∠PDC=∠QEC}&{\;}\\{PD=QE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△CDP≌△CEQ（SAS），
∴CP=CQ，∠PCD=∠QCE，
又∵∠DCE=60°，
∴∠QCE+∠QCD=60°，
∴∠PCD+∠QCD=60°，
即∠PCQ=60°，
∴△CPQ為等邊三角形．

點評 本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，證明三角形全等得出對應角相等、對應邊相等是解決問題的關鍵．