Question

3．小明用長AB=3，寬BC=2的矩形木板做一個盡可能大的圓形桌面，他設(shè)計了三種方案：
方案一：直接鋸一個半徑最大的圓；
方案二：沿對角線AC將矩形鋸成兩個三角形，適當平移三角形并鋸一個最大的圓；
方案三：鋸一塊小矩形BCEF拼到矩形AFED下面，利用拼成的木板鋸一個盡可能大的圓．
（1）寫出方案一中圓的半徑；
（2）求方案二中圓的半徑；
（3）在方案三中，設(shè)CE=x（0＜x＜1），當x取何值時圓的半徑最大，最大半徑為多少？并說明三種方案中哪一個圓形桌面的半徑最大．

Answer 1

分析 （1）觀察圖易知，截圓的直徑需不超過長方形長、寬中最短的邊，由已知長寬分別為3，2，那么直接取圓直徑最大為2，則半徑最大為1．
（2）方案二、方案三中求圓的半徑是常規(guī)的利用勾股定理或三角形相似中對應(yīng)邊長成比例等性質(zhì)解直角三角形求邊長的題目．一般都先設(shè)出所求邊長，而后利用關(guān)系代入表示其他相關(guān)邊長，方案二中可利用△O₁O₂E為直角三角形，則滿足勾股定理整理方程，方案三可利用△AOM∽△OFN后對應(yīng)邊成比例整理方程，進而可求r的值．
（3）①類似（1）截圓的直徑需不超過長方形長、寬中最短的邊，雖然方案四中新拼的圖象不一定為矩形，但直徑也不得超過橫縱向方向跨度．則選擇最小跨度，取其$\frac{1}{2}$，即為半徑．由EC為x，則新拼圖形水平方向跨度為3-x，豎直方向跨度為2+x，則需要先判斷大小，而后分別討論結(jié)論．
②已有關(guān)系表達式，則直接根據(jù)不等式性質(zhì)易得方案三中的最大半徑．即得最終結(jié)論．

解答 解：（1）方案一中的最大半徑為1．
∵長方形的長寬分別為3，2，
∴直接取圓直徑最大為2，
∴半徑最大為1；

（2）設(shè)半徑為r，
在△AOM和△OFN中，
∵∠A=∠FON，OMA=FNO，
∴△AOM∽△OFN，
∴$\frac{OM}{AM}$=$\frac{FN}{ON}$，
∴$\frac{r}{3-r}$=$\frac{2-r}{r}$，
解得 r=$\frac{6}{5}$；

（3）設(shè)圓的半徑為 y，
①∵EC=x，
∴新拼圖形水平方向跨度為3-x，豎直方向跨度為2+x．
類似（1），所截出圓的直徑最大為3-x或2+x較小的．
當3-x＜2+x時，即當1＞x＞$\frac{1}{2}$時，y=$\frac{1}{2}$（3-x）；
當3-x=2+x時，即當x=$\frac{1}{2}$時，y=$\frac{1}{2}$（3-$\frac{1}{2}$）=$\frac{5}{4}$；
當3-x＞2+x時，即當0＜x＜$\frac{1}{2}$時，y=$\frac{1}{2}$（2+x）．
②當x＞$\frac{1}{2}$時，y=$\frac{1}{2}$（3-x）＜$\frac{1}{2}$（3-$\frac{1}{2}$）=$\frac{5}{4}$；
當x=$\frac{1}{2}$時，y=$\frac{1}{2}$（3-$\frac{1}{2}$）=$\frac{5}{4}$；
當x＜$\frac{1}{2}$時，y=$\frac{1}{2}$（2+x）＜$\frac{1}{2}$（2+$\frac{1}{2}$）=$\frac{5}{4}$，
∴方案四中，當x=$\frac{1}{2}$時，y最大為$\frac{5}{4}$．
∵1＜$\frac{13}{12}$＜$\frac{6}{5}$＜$\frac{5}{4}$，
∴三種方案中，方案三半徑最大．

點評 本題考查了圓的基本性質(zhì)及通過勾股定理、三角形相似等性質(zhì)求解邊長及分段函數(shù)的表示與性質(zhì)討論等內(nèi)容，題目雖看似新穎不易找到思路，但仔細觀察每一小問都是常規(guī)的基礎(chǔ)考點，所以總體來說是一道質(zhì)量很高的題目，值得認真練習．