Question

5．在△ABC中，CA=CB，CD為AB邊的中線，點P是線段AC上任意一點（不與點C重合），過點P作PE交CD于點E，使∠CPE=$\frac{1}{2}$∠CAB，過點C作CF⊥PE交PE的延長線于點F，交AB于點G．
（1）如果∠ACB=90°，
①如圖1，當點P與點A重合時，依題意補全圖形，并指出與△CDG全等的一個三角形；
②如圖2，當點P不與點A重合時，求$\frac{CF}{PE}$的值；
（2）如果∠CAB=a，如圖3，請直接寫出$\frac{CF}{PE}$的值．（用含a的式子表示）

Answer 1

分析 （1）①首先補全圖形，如圖1，易得AD=CD，∠EAD=22.5°，∠ECF=∠ACF-∠ACE=22.5°，即可得到△ADE（或△PDE）與△CDG全等；②過點P作PN∥AG交CG于點N，交CD于點M，如圖2，易證△PFC≌△PFN，即可得到CF=FN=$\frac{1}{2}$CN，要求$\frac{CF}{PE}$的值，只需求出$\frac{CN}{PE}$，易證△PME≌△CMN，即可得到PE=CN，問題得以解決；
（2）過點P作PN∥AG交CG于點N，交CD于點M，如圖3，同（1）②可得CF=$\frac{1}{2}$CN，易證△CMN∽△PME，則有$\frac{CN}{PE}$=$\frac{CM}{PM}$，然后在Rt△PMC中運用三角函數(shù)就可解決問題．

解答 解：（1）①作圖，如圖1所示．

△ADE（或△PDE）與△CDG全等．
提示：只需證AD=CD，∠EAD=22.5°，∠ECF=22.5°即可；
②過點P作PN∥AG交CG于點N，交CD于點M，如圖2，

則有∠CPM=∠CAB．
∵∠CPE=$\frac{1}{2}$∠CAB，
∴∠CPE=$\frac{1}{2}$∠CPN，
∴∠CPE=∠FPN．
∵PF⊥CG，∴∠PFC=∠PFN=90°．
在△PFC和△PFN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CPF=∠NPF}\\{PF=PF}\\{∠PFC=∠PFN}\end{array}\right.$，
∴△PFC≌△PFN，
∴CF=FN，PC=PN．
∵CA=CB，∠ACB=90°，點D為AB的中點，
∴∠A=∠B=45°，∠ADC=90°．
∵PN∥AB，
∴∠CPN=∠A=45°，∠PMC=∠ADC=90°．
∴∠PCN=∠PNC=67.5°，∠ACD=∠A=45°，
∴∠MCN=22.5°．
∵∠CPE=$\frac{1}{2}$∠CAB=22.5°，
∴∠EPM=22.5°，
∴∠EPM=∠MCN=22.5°．
∵∠CPM=∠PCM=45°，
∴PM=CM．
在△PME和△CMN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EPM=∠MCN}\\{PM=CM}\\{∠EMP=∠NMC}\end{array}\right.$，
∴△PME≌△CMN，
∴PE=CN，
∴$\frac{CF}{PE}=\frac{CF}{CN}=\frac{1}{2}$；

（2）$\frac{CF}{PE}$=$\frac{1}{2}tanα$．
提示：過點P作PN∥AG交CG于點N，交CD于點M，如圖3，

同（1）②可得CF=$\frac{1}{2}$CN．
易證△CMN∽△PME，
則有$\frac{CN}{PE}$=$\frac{CM}{PM}$．
∵tan∠CPN=$\frac{CM}{PM}$，∠CPM=∠A=α，
∴tanα=$\frac{CM}{PM}$=$\frac{CN}{PE}$=$\frac{2CF}{PE}$，
∴$\frac{CF}{PE}$=$\frac{1}{2}tanα$．

點評 本題主要考查了全等三角形的判定與性質、相似三角形的判定與性質、三角函數(shù)的定義、直角三角形的斜邊上的中線等于斜邊的一半、等腰三角形的性質等知識，通過添加輔助線把求$\frac{CF}{PE}$的值轉化為求$\frac{CN}{PE}$的值是解決本題的關鍵．