Question

1．若點M為正方形ABCD邊AB上任意一點，作DM=MN交∠ABC外角的平分線于點N，求∠DMN的度數(shù)．

Answer 1

分析 首先過點N作NH⊥AB于點H，然后設(shè)正方形的邊長為a，AM=x，NH=y；由DM=MN，利用勾股定理可證得AM=NH，繼而證得Rt△ADM≌Rt△HMN（HL），然后由全等三角形的性質(zhì)，求得∠ADM=∠HMN，繼而求得∠DMN的度數(shù)．

解答 解：過點N作NH⊥AB于點H，
設(shè)正方形的邊長為a，AM=x，NH=y；
∵四邊形ABCD為正方形，且BN為外角平分線，
∴∠NBH=45°，故∠BNH=∠NBH=45°；
∴BH=NH=y，MH=a-x+y；
∵DM=MN，
∴DM²=MN²；
由勾股定理得：DM²=a²+x²，MN²=（a-x+y）²+y²，
故a²+x²=（a-x+y）²+y²，
∵（a-x+y）²+y²=（a-x）²+2（a-x）y+y²+y²
=a²-2ax+x²+2ay-2xy+2y²
=a²+x²-2（x-y）（a+y）
∴a²+x²=a²+x²-2（x-y）（a+y）
∴2（x-y）（a+y）=0，
∵a+y＞0，
∴x-y=0，x=y
∴AM=NH
在Rt△ADM與Rt△HMN中，
$\left\{\begin{array}{l}{AM=NH}\\{DM=MN}\end{array}\right.$，
∴Rt△ADM≌Rt△HMN（HL），
∴∠ADM=∠HMN；
∵∠ADM+∠AMD=90°，
∴∠HMN+∠AMD=90°，
∴∠DMN=180°-90°=90°．

點評 此題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理．注意準確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵．