Question

12．如圖，拋物線y=x²+bx+c與x軸交A（-1、0）、B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D．
（1）求拋物線的解析式；
（2）拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)M，在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在一點(diǎn)N，使以A，B，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，若存在直接寫(xiě)出M點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）把A（-1、0）、B（3，0）代入y=x²+bx+c，轉(zhuǎn)化為解方程組即可．
（2）討論：當(dāng)以AB為對(duì)角線，利用N₁A=N₁B和四邊形AN₁BM₁為平行四邊形得到四邊形AN₁BM₁為菱形，則點(diǎn)M₁也在對(duì)稱(chēng)軸上，即M₁點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)，所以M點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，-4）；當(dāng)以AB為邊時(shí)，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到MN=AB=4，則可確定M的橫坐標(biāo)，然后代入拋物線解析式得到M點(diǎn)的縱坐標(biāo)

解答 解：（1）把A（-1、0）、B（3，0）代入y=x²+bx+c，
則有$\left\{\begin{array}{l}{1-b+c=0}\\{9+3b+c=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
∴拋物線解析式為y=x²-2x-3．

（2）存在．點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，-4）、（-3，12）、（5，12），
當(dāng)以AB為對(duì)角線，
∵四邊形AM₁BN₁為平行四邊形，
而N₁A=N₁B，
∴四邊形AN₁BM₁為菱形，
∴AB與M₁N₁互相垂直平分，
∴點(diǎn)M₁也在對(duì)稱(chēng)軸上，即M₁點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)，
∴M₁點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-4）；
當(dāng)以AB為邊時(shí)，
∵四邊形AM₂N₂B為平行四邊形，
∴M₂N₂=AB=4，即M₂N₂=4，
∴M₂的橫坐標(biāo)為-3，
當(dāng)x=-3時(shí)，y=9+6-3=12，
同理當(dāng)四邊形AN₃M₃B是平行四邊形時(shí)，可得點(diǎn)M₃的橫坐標(biāo)為5，
當(dāng)x=5時(shí)，y=25-10-3=12，
∴M₂（-3，12），M₃（5，12）．
綜上所述，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，-4）或（-3，12）或（5，12）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)綜合題、待定系數(shù)法．平行四邊形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)分類(lèi)討論，不能漏解，屬于中考?jí)狠S題．