Question

18．如圖，拋物線y=x²-2x-3與坐標(biāo)軸交于A、B、C三點(diǎn)，過y軸上一點(diǎn)M作BC的平行線交拋物線于G、H（G左H右），若點(diǎn)M在y軸上運(yùn)動(dòng)，試判斷HM-CM的值是否發(fā)生變化？若不變化，求出其值；若變化，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 作HE⊥y軸于E，GF⊥y軸于F，如圖，先解方程x²-2x-3=0得到A（-1，0），B（3，0），計(jì)算自變量為0時(shí)的函數(shù)值得到C（0，-3），則△OBC為等腰直角三角形，再利用GH∥BC判斷△GMF和△EMH都為等腰直角三角形，所以HM=$\sqrt{2}$HE，GM=$\sqrt{2}$GF，則HM-GM=$\sqrt{2}$（HE-GF），易得直線BC的解析式為y=x-3，可設(shè)直線GH的解析式為y=x+k，利用二次函數(shù)圖象與直線的交點(diǎn)問題，若設(shè)H、G點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為a、b，則a、b為方程x²-2x-3=x+k的兩根，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到a+b=3，而HE=a，GF=-b，HM-GM=$\sqrt{2}$（HE-GF）=$\sqrt{2}$（a+b）=3$\sqrt{2}$，即HM-GM的值不發(fā)生變化．

解答 解：HM-GM的值不發(fā)生變化．
作HE⊥y軸于E，GF⊥y軸于F，如圖，
當(dāng)y=0時(shí)，x²-2x-3=0，解得x₁=-1，x₂=3，則A（-1，0），B（3，0），
當(dāng)x=0時(shí)，y=x²-2x-3=-3，則C（0，-3），
∵OB=OC=3，
∴△OBC為等腰直角三角形，
∴∠OCB=45°
∵GH∥BC，
∴∠GMF=∠EMH=45°，
∴△GMF和△EMH都為等腰直角三角形，
∴HM=$\sqrt{2}$HE，GM=$\sqrt{2}$GF，
∴HM-GM=$\sqrt{2}$（HE-GF），
易得直線BC的解析式為y=x-3，由于GH∥BC，則可設(shè)直線GH的解析式為y=x+k，
設(shè)H、G點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為a、b，則a、b為方程x²-2x-3=x+k的兩根，
方程整理為x²-3x-3-k=0，
∴a+b=3，
∵HE=a，GF=-b，
∴HM-GM=$\sqrt{2}$（HE-GF）=$\sqrt{2}$（a+b）=3$\sqrt{2}$，
即HM-GM的值不發(fā)生變化．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)：把求二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)問題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于x的一元二次方程．解決本題的關(guān)鍵把HM-GM的值轉(zhuǎn)化為點(diǎn)H與點(diǎn)G的橫坐標(biāo)和的$\sqrt{2}$倍．