Question

7．設(shè)△ABC的內(nèi)切圓半徑為r，BC=a，AC=b，AB=c，且其上的高分別為h_a，h_b，h_c滿足h_a+h_b+h_c=9r．則△ABC的形狀為等邊三角形．

Answer 1

分析 根據(jù)三角形的面積公式得到S_△ABC=$\frac{1}{2}$（a+b+c）r=$\frac{1}{2}$a•h_a=$\frac{1}{2}$b•h_b=$\frac{1}{2}$c•h_c，推出h_a=$\frac{1}{a}$（a+b+c）r，同理h_b=$\frac{1}$（a+b+c）r，h_c=$\frac{1}{c}$（a+b+c）r，列方程得到a=b=c，于是得到結(jié)論．

解答 解：∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$（a+b+c）r=$\frac{1}{2}$a•h_a=$\frac{1}{2}$b•h_b=$\frac{1}{2}$c•h_c，
∴h_a=$\frac{1}{a}$（a+b+c）r，
同理h_b=$\frac{1}$（a+b+c）r，h_c=$\frac{1}{c}$（a+b+c）r，
∴h_a+h_b+h_c=（a+b+c） r（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$+$\frac{1}{c}$）=9r，
∴（a+b+c）（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$+$\frac{1}{c}$）=3+（$\frac{a}$+$\frac{a}$）+（$\frac{a}{c}$+$\frac{c}{a}$）+（$\frac{c}$+$\frac{c}$）≥3+2+2+2=9，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)等號(hào)成立，
∴a=b=c，
∴△ABC的形狀為等邊三角形．
故答案為：等邊三角形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，等式的性質(zhì)，三角形面積公式，熟練掌握三角形的面積的計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵．